得五、试确定得的值,使得得.(10分)

本题考查极限的计算，核心思路是利用等价无穷小替换和泰勒展开将分子分母展开到适当阶数，通过比较系数确定参数。关键点在于：

1. 分母等价替换：当$x \to 0$时，$\arctan x \sim x$，分母$x \arctan x \sim x^2$；
2. 分子展开：将$\ln(1-x+2x^2)$和$\sin x$展开到二次项，确保分子与分母同阶；
3. 系数匹配：通过分子中$x$的一次项系数为0消去奇点，再通过二次项系数确定$b$的值。

步骤1：分母等价替换

当$x \to 0$时，$\arctan x \sim x$，因此分母$x \arctan x \sim x^2$，原极限等价于：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x+2x^2) + a \sin x + b x^2}{x^2} = \frac{5}{2}$

步骤2：分子展开

1. 展开$\ln(1-x+2x^2)$：
   $\ln(1-x+2x^2) = (-x + 2x^2) - \frac{(-x + 2x^2)^2}{2} + o(x^2) = -x + \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)$
2. 展开$\sin x$：
   $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \implies a \sin x = a x + o(x)$

步骤3：合并分子项

将展开式代入分子：
$\ln(1-x+2x^2) + a \sin x + b x^2 = (-x + a x) + \left(\frac{3}{2} + b\right)x^2 + o(x^2)$

步骤4：消去奇点

为使极限存在，分子中$x$的一次项系数必须为0：
$-1 + a = 0 \implies a = 1$

步骤5：确定二次项系数

此时分子为：
$\left(\frac{3}{2} + b\right)x^2 + o(x^2)$
分母为$x^2$，故极限为：
$\frac{3}{2} + b = \frac{5}{2} \implies b = 1$