题目
下列函数中是微分方程 +dfrac (y)(x)=x 的解的是 ()-|||-A. =dfrac ({x)^2}(3)+1-|||-B. =-dfrac ({x)^2}(3)+1-|||-C. =dfrac ({x)^3}(3)+dfrac (1)(x)-|||-D. =dfrac ({x)^2}(3)+dfrac (1)(x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微分方程
微分方程为 $y+\dfrac {y}{x}=x$，即 $y(1+\dfrac {1}{x})=x$，可以写成 $y=\dfrac {x^2}{x+1}$。
步骤 2：验证选项
A. $y=\dfrac {{x}^{2}}{3}+1$，代入微分方程，$y+\dfrac {y}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+1+\dfrac {\dfrac {{x}^{2}}{3}+1}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+1+\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+1+\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{x}$，不等于$x$，所以不是解。
B. $y=-\dfrac {{x}^{2}}{3}+1$，代入微分方程，$y+\dfrac {y}{x}=-\dfrac {{x}^{2}}{3}+1+\dfrac {-\dfrac {{x}^{2}}{3}+1}{x}=-\dfrac {{x}^{2}}{3}+1-\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{x}$，不等于$x$，所以不是解。
C. $y=\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1}{x}$，代入微分方程，$y+\dfrac {y}{x}=\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1}{x}}{x}=\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，不等于$x$，所以不是解。
D. $y=\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}$，代入微分方程，$y+\dfrac {y}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{{x}^{2}}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，等于$x$，所以是解。
微分方程为 $y+\dfrac {y}{x}=x$，即 $y(1+\dfrac {1}{x})=x$，可以写成 $y=\dfrac {x^2}{x+1}$。
步骤 2：验证选项
A. $y=\dfrac {{x}^{2}}{3}+1$，代入微分方程，$y+\dfrac {y}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+1+\dfrac {\dfrac {{x}^{2}}{3}+1}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+1+\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+1+\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{x}$，不等于$x$，所以不是解。
B. $y=-\dfrac {{x}^{2}}{3}+1$，代入微分方程，$y+\dfrac {y}{x}=-\dfrac {{x}^{2}}{3}+1+\dfrac {-\dfrac {{x}^{2}}{3}+1}{x}=-\dfrac {{x}^{2}}{3}+1-\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{x}$，不等于$x$，所以不是解。
C. $y=\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1}{x}$，代入微分方程，$y+\dfrac {y}{x}=\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1}{x}}{x}=\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，不等于$x$，所以不是解。
D. $y=\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}$，代入微分方程，$y+\dfrac {y}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{{x}^{2}}=\dfrac {{x}^{2}}{3}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {{x}^{2}}{3x}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，等于$x$，所以是解。