题目
【例20】设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0，且存在c∈(a,b)使f(c)<0.试证：exists xi,etain(a,b),f^prime(xi)<0,f^primeprime(eta)>0.
【例20】设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0，且存在c∈(a,b)使f(c)<0.试证：$\exists \xi,\eta\in(a,b),f^{\prime}(\xi)<0,f^{\prime\prime}(\eta)>0.$
题目解答
答案
由罗尔定理，存在 $d \in (a, b)$ 使得 $f'(d) = 0$。
在区间 $[a, c]$ 上，由中值定理得 $\xi_1 \in (a, c)$ 满足
\[
f'(\xi_1) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a} = \frac{f(c)}{c - a} < 0.
\]
在区间 $[c, b]$ 上，同理得 $\xi_2 \in (c, b)$ 满足
\[
f'(\xi_2) = \frac{f(b) - f(c)}{b - c} = \frac{-f(c)}{b - c} > 0.
\]
由导数的介值定理，存在 $\eta \in (\xi_1, \xi_2)$ 使得
\[
f''(\eta) = \frac{f'(d) - f'(\xi_1)}{d - \xi_1} > 0.
\]
因此，存在 $\xi = \xi_1$ 和 $\eta$ 满足条件。
\[
\boxed{\text{存在 } \xi, \eta \in (a, b) \text{ 使得 } f'(\xi) < 0 \text{ 和 } f''(\eta) > 0.}
\]
解析
步骤 1：应用罗尔定理
由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $f(a) = f(b) = 0$，根据罗尔定理，存在 $d \in (a, b)$ 使得 $f'(d) = 0$。
步骤 2：应用中值定理
在区间 $[a, c]$ 上，由中值定理得 $\xi_1 \in (a, c)$ 满足
\[ f'(\xi_1) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a} = \frac{f(c)}{c - a} < 0. \]
在区间 $[c, b]$ 上，同理得 $\xi_2 \in (c, b)$ 满足
\[ f'(\xi_2) = \frac{f(b) - f(c)}{b - c} = \frac{-f(c)}{b - c} > 0. \]
步骤 3：应用导数的介值定理
由导数的介值定理，存在 $\eta \in (\xi_1, \xi_2)$ 使得
\[ f''(\eta) = \frac{f'(d) - f'(\xi_1)}{d - \xi_1} > 0. \]
因此，存在 $\xi = \xi_1$ 和 $\eta$ 满足条件。
由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $f(a) = f(b) = 0$，根据罗尔定理，存在 $d \in (a, b)$ 使得 $f'(d) = 0$。
步骤 2：应用中值定理
在区间 $[a, c]$ 上，由中值定理得 $\xi_1 \in (a, c)$ 满足
\[ f'(\xi_1) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a} = \frac{f(c)}{c - a} < 0. \]
在区间 $[c, b]$ 上，同理得 $\xi_2 \in (c, b)$ 满足
\[ f'(\xi_2) = \frac{f(b) - f(c)}{b - c} = \frac{-f(c)}{b - c} > 0. \]
步骤 3：应用导数的介值定理
由导数的介值定理，存在 $\eta \in (\xi_1, \xi_2)$ 使得
\[ f''(\eta) = \frac{f'(d) - f'(\xi_1)}{d - \xi_1} > 0. \]
因此，存在 $\xi = \xi_1$ 和 $\eta$ 满足条件。