题目
3.1 沿下列路径计算积分 (int )_(0)^3+1(z)^2dz:-|||-(1)自原点至 +1 的直线段;-|||-(2)自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至 +i.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径
(1) 自原点至 3+i 的直线段，可以表示为 $z(t) = t(3+i)$，其中 $t$ 从 0 变化到 1。
(2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至 $3+i$，可以表示为两段路径：$z_1(t) = t$，其中 $t$ 从 0 变化到 3；$z_2(t) = 3 + it$，其中 $t$ 从 0 变化到 1。
步骤 2：计算积分
(1) 对于直线段，$dz = (3+i)dt$，所以积分变为 ${\int }_{0}^{1}{(t(3+i))}^{2}(3+i)dt$。
(2) 对于两段路径，分别计算积分 ${\int }_{0}^{3}{t}^{2}dt$ 和 ${\int }_{0}^{1}{(3+it)}^{2}idt$，然后相加。
步骤 3：计算结果
(1) 直线段的积分结果为 $\dfrac {1}{3}{(3+i)}^{3}$。
(2) 两段路径的积分结果相加，同样得到 $\dfrac {1}{3}{(3+i)}^{3}$。
(1) 自原点至 3+i 的直线段，可以表示为 $z(t) = t(3+i)$，其中 $t$ 从 0 变化到 1。
(2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至 $3+i$，可以表示为两段路径：$z_1(t) = t$，其中 $t$ 从 0 变化到 3；$z_2(t) = 3 + it$，其中 $t$ 从 0 变化到 1。
步骤 2：计算积分
(1) 对于直线段，$dz = (3+i)dt$，所以积分变为 ${\int }_{0}^{1}{(t(3+i))}^{2}(3+i)dt$。
(2) 对于两段路径，分别计算积分 ${\int }_{0}^{3}{t}^{2}dt$ 和 ${\int }_{0}^{1}{(3+it)}^{2}idt$，然后相加。
步骤 3：计算结果
(1) 直线段的积分结果为 $\dfrac {1}{3}{(3+i)}^{3}$。
(2) 两段路径的积分结果相加，同样得到 $\dfrac {1}{3}{(3+i)}^{3}$。