2019.11. y=(sqrt(16-x^2))/(ln(x+3))的定义域

考查要点：本题主要考查函数定义域的求解，涉及根式、对数函数及分式的综合条件。

解题核心思路：

1. 根式条件：根号内的表达式必须非负；
2. 对数函数条件：对数的真数必须大于0；
3. 分式条件：分母不能为0。

破题关键点：

• 将各部分条件转化为不等式，求出各自的解集；
• 通过交集和排除法综合所有条件，得到最终定义域。

步骤1：分析根式条件

根式 $\sqrt{16 - x^2}$ 要求：
$16 - x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq 16 \quad \Rightarrow \quad -4 \leq x \leq 4.$

步骤2：分析对数真数条件

分母中的 $\ln(x + 3)$ 要求真数 $x + 3 > 0$：
$x + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -3.$

步骤3：分析分母不为零条件

分母 $\ln(x + 3) \neq 0$，即：
$\ln(x + 3) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x + 3 \neq e^0 = 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2.$

步骤4：综合所有条件

1. 根式与对数真数的交集：$-4 \leq x \leq 4$ 与 $x > -3$ 的交集为 $-3 < x \leq 4$；
2. 排除分母为零的点：在 $-3 < x \leq 4$ 中排除 $x = -2$；
3. 最终定义域：$(-3, -2) \cup (-2, 4]$。