“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ε”是数列(xn)收敛于a的（ ）。A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件

考查要点：本题主要考查数列收敛的定义及其等价条件的判断，涉及充分条件与必要条件的辨析。

解题核心思路：

1. 理解数列收敛的定义：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，当$n \geq N$时，$|x_n - a| < \varepsilon$。
2. 分析题目条件：题目中的条件将$\varepsilon$限制在$(0,1)$，并将不等式改为$|x_n - a| \leq 2\varepsilon$。需判断该条件是否与收敛定义等价。
3. 关键点：通过调整$\varepsilon$的取值范围，证明题目条件与收敛定义可以相互推导。

步骤1：证明题目条件是收敛的充分条件
假设数列$\{x_n\}$满足题目条件，即对任意$\varepsilon \in (0,1)$，存在$N$使得当$n \geq N$时，$|x_n - a| \leq 2\varepsilon$。

• 对于任意给定的$\varepsilon > 0$，若$\varepsilon \leq 1$，取$\varepsilon' = \varepsilon/2$（此时$\varepsilon' \in (0,1)$），根据题目条件，存在$N$使得当$n \geq N$时，$|x_n - a| \leq 2\varepsilon' = \varepsilon$，即满足收敛定义。
• 若$\varepsilon > 1$，取$\varepsilon' = 1$，根据题目条件，存在$N$使得当$n \geq N$时，$|x_n - a| \leq 2 \cdot 1 = 2$。此时$2 < \varepsilon$（因$\varepsilon > 1$），故$|x_n - a| < \varepsilon$，同样满足收敛定义。
  因此，题目条件是收敛的充分条件。

步骤2：证明题目条件是收敛的必要条件
假设数列$\{x_n\}$收敛于$a$，即对任意$\varepsilon > 0$，存在$N$使得当$n \geq N$时，$|x_n - a| < \varepsilon$。

• 对于任意$\varepsilon \in (0,1)$，取$\varepsilon' = \varepsilon/2$，根据收敛定义，存在$N$使得当$n \geq N$时，$|x_n - a| < \varepsilon' = \varepsilon/2$。此时显然有$|x_n - a| \leq 2\varepsilon$（因$\varepsilon/2 < \varepsilon$，故$2\varepsilon$更大）。
  因此，题目条件是收敛的必要条件。

结论：题目条件与数列收敛定义等价，故为充分必要条件。