设函数 f(x)= ) (e)^2x,xgt 0 1+(x)^2,xleqslant 0 . 01 + x ^ 2 , x le 0." data-width="202" data-height="53" data-size="4250" data-format="png" style="max-width:100%"> ，求 f(x)= ) (e)^2x,xgt 0 1+(x)^2,xleqslant 0 .

步骤 1：确定函数的分段
函数 $f(x)$ 在 $x \leq 0$ 时为 $1 + x^2$，在 $x > 0$ 时为 $e^{2x}$。因此，我们需要分别计算这两个区间上的积分。

步骤 2：计算 $x \leq 0$ 区间上的积分
在 $x \leq 0$ 的区间上，$f(x) = 1 + x^2$。因此，我们需要计算 ${\int }_{-1}^{0}(1 + x^2)dx$。
\[
{\int }_{-1}^{0}(1 + x^2)dx = \left[ x + \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} = 0 - (-1 - \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}
\]

步骤 3：计算 $x > 0$ 区间上的积分
在 $x > 0$ 的区间上，$f(x) = e^{2x}$。因此，我们需要计算 ${\int }_{0}^{1}e^{2x}dx$。
\[
{\int }_{0}^{1}e^{2x}dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}
\]

步骤 4：将两个积分结果相加
\[
{\int }_{-1}^{1}f(x)dx = \frac{4}{3} + \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{2} + \frac{5}{6}
\]