题目
现有12个乒乓球，其中有9个新球，3个旧球，新球用过一次就变成旧球.第一次比赛取出3个球，用完以后放回去，第二次比赛又从中取出3个球.（1）求第二次取出的3个球中仅有1个新球的概率；（2）若第二次取出的3个球中仅有1个新球，求第一次取出的3个球有2个新球的概率.
现有12个乒乓球，其中有9个新球，3个旧球，新球用过一次就变成旧球.第一次比赛取出3个球，用完以后放回去，第二次比赛又从中取出3个球.（1）求第二次取出的3个球中仅有1个新球的概率；（2）若第二次取出的3个球中仅有1个新球，求第一次取出的3个球有2个新球的概率.
题目解答
答案
（1）第一次比赛取出3个旧球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为
，
第一次比赛取出2个旧球1个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为
，
第一次比赛取出1个旧球2个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为
，
第一次比赛取出3个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为
，则第二次比赛取出1个新球的全概率为
；（2）若第二次取出的3个球中仅有1个新球，则第一次取出的3个球有2个新球的条件概率为
.
解析
步骤 1：计算第一次比赛取出3个旧球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率
第一次比赛取出3个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$，第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，因此，${p}_{1}=\dfrac {{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}\times \dfrac {{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}=\dfrac {27}{48400}$。
步骤 2：计算第一次比赛取出2个旧球1个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率
第一次比赛取出2个旧球1个新球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，因此，${\rho }_{2}=\dfrac {{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}\times \dfrac {{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}=\dfrac {1296}{48400}$。
步骤 3：计算第一次比赛取出1个旧球2个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率
第一次比赛取出1个旧球2个新球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{9}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$，第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{5}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，因此，${\rho }_{3}=\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{9}^{2}}{{C}_{12}^{3}}\times \dfrac {{C}_{5}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{12}^{3}}=\dfrac {7560}{48400}$。
步骤 4：计算第一次比赛取出3个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率
第一次比赛取出3个新球的概率为$\dfrac {{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$，第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，因此，${P}_{4}=\dfrac {{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}\times \dfrac {{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{12}^{3}}=\dfrac {7560}{48400}$。
步骤 5：计算第二次比赛取出1个新球的全概率
$p={p}_{1}+{p}_{2}+{p}_{3}+{p}_{4}$$=\dfrac {27}{48400}+\dfrac {1296}{48400}+\dfrac {7560}{48400}+\dfrac {7560}{48400}=\dfrac {16443}{48400}$。
步骤 6：计算若第二次取出的3个球中仅有1个新球，则第一次取出的3个球有2个新球的条件概率
$\dfrac {{P}_{3}}{P}=\dfrac {\dfrac {7560}{48400}}{\dfrac {16443}{48400}}=\dfrac {280}{609}$。
第一次比赛取出3个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$，第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，因此，${p}_{1}=\dfrac {{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}\times \dfrac {{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}=\dfrac {27}{48400}$。
步骤 2：计算第一次比赛取出2个旧球1个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率
第一次比赛取出2个旧球1个新球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，因此，${\rho }_{2}=\dfrac {{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}\times \dfrac {{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}=\dfrac {1296}{48400}$。
步骤 3：计算第一次比赛取出1个旧球2个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率
第一次比赛取出1个旧球2个新球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{9}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$，第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{5}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，因此，${\rho }_{3}=\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{9}^{2}}{{C}_{12}^{3}}\times \dfrac {{C}_{5}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{12}^{3}}=\dfrac {7560}{48400}$。
步骤 4：计算第一次比赛取出3个新球且第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率
第一次比赛取出3个新球的概率为$\dfrac {{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$，第二次比赛取出1个新球2个旧球的概率为$\dfrac {{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$，因此，${P}_{4}=\dfrac {{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}\times \dfrac {{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{12}^{3}}=\dfrac {7560}{48400}$。
步骤 5：计算第二次比赛取出1个新球的全概率
$p={p}_{1}+{p}_{2}+{p}_{3}+{p}_{4}$$=\dfrac {27}{48400}+\dfrac {1296}{48400}+\dfrac {7560}{48400}+\dfrac {7560}{48400}=\dfrac {16443}{48400}$。
步骤 6：计算若第二次取出的3个球中仅有1个新球，则第一次取出的3个球有2个新球的条件概率
$\dfrac {{P}_{3}}{P}=\dfrac {\dfrac {7560}{48400}}{\dfrac {16443}{48400}}=\dfrac {280}{609}$。