题目
甲箱内有 2 个 红球 3 个 白球乙箱内有 2 个 红球 2 个 白球先从甲中任取一球放入乙箱 再从乙箱中任取一球求 ( 1 ) 从乙箱中取出的是红球的 概率 ; ( 2 ) 如果已知从乙箱中取出的是红球的条件下从甲箱中取出的也是红球的概率
甲箱内有 2 个 红球 3 个 白球乙箱内有 2 个 红球 2 个 白球先从甲中任取一球放入乙箱 再从乙箱中任取一球求 ( 1 ) 从乙箱中取出的是红球的 概率 ; ( 2 ) 如果已知从乙箱中取出的是红球的条件下从甲箱中取出的也是红球的概率
题目解答
答案
（1）若从甲箱取出一个红球放到乙箱，则乙箱中有3红球2白球，此时乙箱中取出红球的概率为
若从甲箱取出一个白球放到乙箱，则乙箱中有2红球3白球，此时乙箱中取出红球的概率为
(2)设事件A：从甲箱中取出红球，B：从乙箱中取出红球
,
由
得
可得
解析
步骤 1：计算从甲箱中取出红球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率
从甲箱中取出红球的概率为$\frac{2}{5}$，此时乙箱中有3个红球和2个白球，从乙箱中取出红球的概率为$\frac{3}{5}$。因此，从甲箱中取出红球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率为$\frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$。
步骤 2：计算从甲箱中取出白球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率
从甲箱中取出白球的概率为$\frac{3}{5}$，此时乙箱中有2个红球和3个白球，从乙箱中取出红球的概率为$\frac{2}{5}$。因此，从甲箱中取出白球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率为$\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}$。
步骤 3：计算从乙箱中取出红球的总概率
从乙箱中取出红球的总概率为从甲箱中取出红球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率加上从甲箱中取出白球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率，即$\frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25}$。
步骤 4：计算已知从乙箱中取出的是红球的条件下，从甲箱中取出的也是红球的概率
设事件A：从甲箱中取出红球，B：从乙箱中取出红球。根据条件概率公式$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，其中$P(B) = \frac{12}{25}$，$P(AB) = \frac{6}{25}$。因此，$P(A|B) = \frac{\frac{6}{25}}{\frac{12}{25}} = \frac{1}{2}$。
从甲箱中取出红球的概率为$\frac{2}{5}$，此时乙箱中有3个红球和2个白球，从乙箱中取出红球的概率为$\frac{3}{5}$。因此，从甲箱中取出红球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率为$\frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$。
步骤 2：计算从甲箱中取出白球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率
从甲箱中取出白球的概率为$\frac{3}{5}$，此时乙箱中有2个红球和3个白球，从乙箱中取出红球的概率为$\frac{2}{5}$。因此，从甲箱中取出白球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率为$\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}$。
步骤 3：计算从乙箱中取出红球的总概率
从乙箱中取出红球的总概率为从甲箱中取出红球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率加上从甲箱中取出白球放入乙箱后，从乙箱中取出红球的概率，即$\frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25}$。
步骤 4：计算已知从乙箱中取出的是红球的条件下，从甲箱中取出的也是红球的概率
设事件A：从甲箱中取出红球，B：从乙箱中取出红球。根据条件概率公式$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，其中$P(B) = \frac{12}{25}$，$P(AB) = \frac{6}{25}$。因此，$P(A|B) = \frac{\frac{6}{25}}{\frac{12}{25}} = \frac{1}{2}$。