2.20设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ^2)}, |x|lt 1 0, |x|geqslant 1) 内的概率;(3)随机变量X

步骤 1：确定系数A
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$
由于f(x)在|x|≥1时为0，我们只需考虑|x|<1的区间，即：
${\int }_{-1}^{1}\dfrac {A}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx=1$
步骤 2：计算积分
积分 ${\int }_{-1}^{1}\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx$ 是一个标准积分，其结果为π。因此，我们有：
$A{\int }_{-1}^{1}\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx=A\cdot \pi =1$
步骤 3：求解A
从上一步得到的等式中解出A，我们有：
$A=\dfrac {1}{\pi }$
步骤 4：计算随机变量X落在区间 $(-\dfrac {1}{2},\dfrac {1}{2})$ 内的概率
根据概率密度函数，我们有：
$P(-\dfrac {1}{2}\lt x\lt \dfrac {1}{2})={\int }_{-\dfrac {1}{2}}^{\dfrac {1}{2}}\dfrac {1}{\pi \sqrt {1-{x}^{2}}}dx$
步骤 5：计算积分
积分 ${\int }_{-\dfrac {1}{2}}^{\dfrac {1}{2}}\dfrac {1}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx$ 的结果为 $\dfrac {\pi }{3}$。因此，我们有：
$P(-\dfrac {1}{2}\lt x\lt \dfrac {1}{2})=\dfrac {1}{\pi }\cdot \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {1}{3}$
步骤 6：求解随机变量X的分布函数
根据概率密度函数，我们有：
当 $x\lt -1$ 时，$F(x)=0$
当 $-1\leqslant x\lt 1$ 时，$F(x)=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{\pi }\arcsin x$
当 $x\geqslant 1$ 时，$F(x)=1$