题目
2.函数 (x)=(x)^3+(x)^2-x-1 的极大值点为 ()-|||-A. x=-1 B. =-dfrac (1)(3) . C. =dfrac (1)(3) . D. x=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{3}+{x}^{2}-x-1$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数 $f'(x)$ 的零点，即解方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$。这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解它：
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
其中，$a = 3$，$b = 2$，$c = -1$。代入这些值，我们得到：
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}$$
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$$
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}$$
$$x = \frac{-2 \pm 4}{6}$$
因此，我们得到两个解：
$$x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
$$x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$
步骤 3：判断极大值点
现在，我们需要判断这两个零点中哪一个对应于函数的极大值点。为此，我们可以使用导数的符号来判断函数的增减性。我们注意到，当 $x < -1$ 时，$f'(x) > 0$，函数是增的；当 $-1 < x < \frac{1}{3}$ 时，$f'(x) < 0$，函数是减的；当 $x > \frac{1}{3}$ 时，$f'(x) > 0$，函数是增的。因此，$x = -1$ 是函数的极大值点。
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{3}+{x}^{2}-x-1$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数 $f'(x)$ 的零点，即解方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$。这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解它：
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
其中，$a = 3$，$b = 2$，$c = -1$。代入这些值，我们得到：
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}$$
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}$$
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}$$
$$x = \frac{-2 \pm 4}{6}$$
因此，我们得到两个解：
$$x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
$$x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$
步骤 3：判断极大值点
现在，我们需要判断这两个零点中哪一个对应于函数的极大值点。为此，我们可以使用导数的符号来判断函数的增减性。我们注意到，当 $x < -1$ 时，$f'(x) > 0$，函数是增的；当 $-1 < x < \frac{1}{3}$ 时，$f'(x) < 0$，函数是减的；当 $x > \frac{1}{3}$ 时，$f'(x) > 0$，函数是增的。因此，$x = -1$ 是函数的极大值点。