题目
二次型 f((x_1),(x_2)) = (x_1)(x_2) 的负惯性指数是______
二次型$ f({x_1},{x_2}) = {x_1}{x_2} $的负惯性指数是______
题目解答
答案
1
解析
步骤 1：确定二次型的矩阵表示
二次型 $f(x_1, x_2) = x_1x_2$ 可以表示为矩阵形式 $f(x) = x^T A x$，其中 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，$A$ 是二次型的矩阵。对于 $f(x_1, x_2) = x_1x_2$，矩阵 $A$ 为 $\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$。
步骤 2：计算矩阵 $A$ 的特征值
矩阵 $A$ 的特征值是通过解特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 得到的。对于矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$，特征方程为 $\det\begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \frac{1}{4} = 0$。解得 $\lambda = \pm \frac{1}{2}$。
步骤 3：确定负惯性指数
负惯性指数是指矩阵 $A$ 的负特征值的个数。由于矩阵 $A$ 的特征值为 $\pm \frac{1}{2}$，其中负特征值为 $-\frac{1}{2}$，因此负惯性指数为 1。
二次型 $f(x_1, x_2) = x_1x_2$ 可以表示为矩阵形式 $f(x) = x^T A x$，其中 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，$A$ 是二次型的矩阵。对于 $f(x_1, x_2) = x_1x_2$，矩阵 $A$ 为 $\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$。
步骤 2：计算矩阵 $A$ 的特征值
矩阵 $A$ 的特征值是通过解特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 得到的。对于矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$，特征方程为 $\det\begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \frac{1}{4} = 0$。解得 $\lambda = \pm \frac{1}{2}$。
步骤 3：确定负惯性指数
负惯性指数是指矩阵 $A$ 的负特征值的个数。由于矩阵 $A$ 的特征值为 $\pm \frac{1}{2}$，其中负特征值为 $-\frac{1}{2}$，因此负惯性指数为 1。