题目

27.单选题设函数f(x)=(1)/(e^frac(x){x-1)-1}，则（）.A x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点B x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点C x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点D x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点

27.单选题 设函数$f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}$，则（）. A x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 B x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点 C x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点 D x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点

题目解答

答案

分析函数 $ f(x) = \frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}} - 1} $ 的间断点：

  1. 当 $ x \to 0 $ 时：
    指数部分 $ \frac{x}{x-1} \to 0 $，故 $ e^{\frac{x}{x-1}} \to 1 $，分母趋近于0，导致 $ f(x) \to \infty $。
    结论： $ x = 0 $ 为第二类间断点（极限不存在）。

  2. 当 $ x \to 1 $ 时：

    • $ x \to 1^+ $：指数部分 $ \frac{x}{x-1} \to +\infty $，$ e^{\frac{x}{x-1}} \to +\infty $，$ f(x) \to 0^+ $。
    • $ x \to 1^- $：指数部分 $ \frac{x}{x-1} \to -\infty $，$ e^{\frac{x}{x-1}} \to 0^+ $，$ f(x) \to -1 $。
      结论： $ x = 1 $ 为第一类间断点（左右极限存在但不相等）。

答案：
$\boxed{D}$

解析

考查要点：本题主要考查函数间断点的分类，需要判断$x=0$和$x=1$处的间断类型。关键在于分析函数在这些点的左右极限是否存在及是否相等。

解题思路：

  1. 确定间断点位置：分母$e^{\frac{x}{x-1}} -1$为0时，函数无定义，即当$\frac{x}{x-1}=0$时，解得$x=0$；当$x=1$时分母无意义。
  2. 分类标准：
    • 第一类间断点：左右极限存在但不相等，或相等但不等于函数值。
    • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在（如趋向无穷大）。
  3. 分步计算：
    • $x=0$：分析$x \to 0$时分母趋向0的情况，判断极限是否存在。
    • $x=1$：分别计算$x \to 1^+$和$x \to 1^-$的左右极限，判断是否相等。

分析$x=0$处的间断类型

当$x \to 0$时：

  • 指数部分$\frac{x}{x-1} \to 0$，因此$e^{\frac{x}{x-1}} \to e^0 = 1$。
  • 分母$e^{\frac{x}{x-1}} -1 \to 0$，导致$f(x) = \frac{1}{\text{趋近于0的正数}} \to +\infty$。
  • 结论：$x=0$处函数趋向无穷大，极限不存在，属于第二类间断点。

分析$x=1$处的间断类型

当$x \to 1^+$时：

  • $\frac{x}{x-1} \to +\infty$，因此$e^{\frac{x}{x-1}} \to +\infty$。
  • 分母$e^{\frac{x}{x-1}} -1 \to +\infty$，故$f(x) \to 0^+$。

当$x \to 1^-$时：

  • $\frac{x}{x-1} \to -\infty$，因此$e^{\frac{x}{x-1}} \to 0^+$。

  • 分母$e^{\frac{x}{x-1}} -1 \to -1$，故$f(x) \to \frac{1}{-1} = -1$。

  • 结论：左右极限分别为$0^+$和$-1$，存在但不相等，属于第一类间断点。