一部五卷的文集，按任意次序排放到书架上，试求下列事件的概率： (1)第一卷出现在两边； (2)第一卷及第五卷出现在两边； (3)第一卷或第五卷出现在两边； (4)第一卷或第五卷不出现在两边； (5)第三卷恰好在正中；

考查要点：排列组合与概率的基本计算，涉及事件独立性、容斥原理及对立事件的应用。

解题核心思路：

1. 确定总事件数：五卷排列的总方式为$5! = 120$。
2. 计算有利事件数：根据各小题条件，确定符合条件的排列方式。
3. 应用概率公式：概率 = 有利事件数 / 总事件数。
4. 关键技巧：利用对称性简化计算（如固定某卷位置），容斥原理处理“或”事件。

破题关键点：

• 位置固定法：将特定卷固定在指定位置，剩余卷自由排列。
• 对立事件转换：如第（4）题可直接用$1 - P(\text{对立事件})$简化计算。

第（1）题

第一卷出现在两边

1. 固定第一卷位置：第一卷可放在左边（位置1）或右边（位置5），共2种选择。
2. 剩余卷排列：剩下的4卷在剩余4个位置任意排列，方式为$4! = 24$。
3. 概率计算：
   $P = \frac{2 \times 4!}{5!} = \frac{2 \times 24}{120} = \frac{2}{5}.$

第（2）题

第一卷及第五卷出现在两边

1. 固定两端位置：第一卷和第五卷需分别占据左右两端，有两种排列方式（第一卷左、第五卷右 或 第一卷右、第五卷左）。
2. 剩余卷排列：中间3个位置由剩下的3卷自由排列，方式为$3! = 6$。
3. 概率计算：
   $P = \frac{2 \times 3!}{5!} = \frac{2 \times 6}{120} = \frac{1}{10}.$

第（3）题

第一卷或第五卷出现在两边

1. 容斥原理：
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
2. 代入已知值：
   $P = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}.$

第（4）题

第一卷或第五卷不出现在两边

1. 对立事件：所求概率为第（3）题的对立事件。
   $P = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}.$

第（5）题

第三卷恰好在正中

1. 固定中间位置：第三卷固定在位置3，剩余4卷自由排列，方式为$4! = 24$。
2. 概率计算：
   $P = \frac{4!}{5!} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}.$