题目

一个人从5 m深的井中提水,起始桶中装有5 kg的水,由于水桶漏水,每升高1.0m要漏去0.2 kg的水,则水桶被匀速地从井中提到井口,人所作的功_____.

题目解答

答案

【分析】

水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功等于水桶及水的重力与位移的乘积，即W = mgh，但m是变化的，故应采用微元法求解.

【解答】

设人将水桶从井底提到井口所做的功为W，将水桶的运动过程分成n个相等的位移段，每段位移为 $\Delta h = \frac{h}{n}$ ，则在第i段位移内水桶及水的质量为 $m_{i} = m_{0} - (i - 1) \cdot \Delta m$ ，其中 $m_{0} = 5kg，\Delta m = 0.2kg$ ，则在第i段位移内人做的功为 $W_{i} = m_{i}g\Delta h$ ，则人将水桶从井底提到井口所做的功为 $W=W_1+W_2+\ldots+W_n$ $=[m_0g-(g\Delta m)+\ldots+(m_0g-(n-1)g\Delta m)]\Delta h$

$= \lbrack nm_{0}g - \frac{n(n - 1)}{2}g\Delta m\rbrack\Delta h = (m_{0}g - \frac{n - 1}{2}g\Delta m)h$ $= (m_{0} - \frac{h}{2\Delta h}\Delta m)gh$

$= (5 - \frac{5}{2 \times 1} \times 0.2) \times 10 \times 5J = 225J$

故答案是：225 J

解析

步骤 1：确定水桶及水的初始质量
水桶及水的初始质量为5 kg。
步骤 2：确定每升高1.0m水桶漏掉的水的质量
每升高1.0m水桶漏掉的水的质量为0.2 kg。
步骤 3：计算水桶被匀速地从井中提到井口时人所作的功
将水桶的运动过程分成n个相等的位移段，每段位移为$\dfrac {u}{u}=uv$，则在第i段位移内水桶及水的质量为${m}_{i}={m}_{0}-(i-1)\cdot \Delta m$，其中m0=5kg, $\Delta m=0.2kg$，则在第i段位移内人做的功为${W}_{i}={m}_{i}g\Delta h$，则人将水桶从井底提到井口所做的功为$W={W}_{1}+{W}_{2}+\cdots +{W}_{n}$$=|mog-(9\Delta m)+\cdots +({m}_{0}g-(n-1)g\Delta m)|\Delta h$
$=[ rmrag-\dfrac {n(n-1)}{2}g\Delta m] \Delta h=(mog-\dfrac {n-1}{2}g\Delta min)$$=({m}_{0}-\dfrac {h}{2\Delta h}\Delta m)gh$
$=(5-\dfrac {5}{2\times 1}\times 0.2)\times 10\times 5] =225J$