题目
填空题(共9题,45.0分)-|||-12.(5.0分)一质点在xy平面内做曲线运动,其运动方程为 overline (r)=(t)^2overline (i)+((t)^2-2t)overline (j)(S1) ,则在任意t时亥-|||-质点切向加速度的大小为 __ -o
题目解答
答案
由题意可知，质点的运动学方程为：$\overrightarrow{r}={t}^{2}\overrightarrow{i}+({t}^{2}-2t)\overrightarrow{j}$
则质点在任意时刻的速度为：$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=2t\overrightarrow{i}+(2t-2)\overrightarrow{j}$
质点在任意时刻的加速度为：$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$
则质点在任意时刻的切向加速度为：$a_t=\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}=\frac{d}{dt}\sqrt{(2t)^2+(2t-2)^2}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{(2t)^2+(2t-2)^2}}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{8{t}^{2}-8t+4}}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{8(t-\frac{1}{2})^2+2}}$
则当$t=\frac{1}{2}$时，切向加速度的大小为：$a_t=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
$2\sqrt{2}$
则质点在任意时刻的速度为：$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=2t\overrightarrow{i}+(2t-2)\overrightarrow{j}$
质点在任意时刻的加速度为：$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$
则质点在任意时刻的切向加速度为：$a_t=\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}=\frac{d}{dt}\sqrt{(2t)^2+(2t-2)^2}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{(2t)^2+(2t-2)^2}}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{8{t}^{2}-8t+4}}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{8(t-\frac{1}{2})^2+2}}$
则当$t=\frac{1}{2}$时，切向加速度的大小为：$a_t=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
$2\sqrt{2}$
解析
步骤 1：确定质点的运动学方程
质点的运动学方程为：$\overrightarrow{r}={t}^{2}\overrightarrow{i}+({t}^{2}-2t)\overrightarrow{j}$
步骤 2：计算质点的速度
质点的速度为：$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=2t\overrightarrow{i}+(2t-2)\overrightarrow{j}$
步骤 3：计算质点的加速度
质点的加速度为：$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$
步骤 4：计算切向加速度
质点在任意时刻的切向加速度为：$a_t=\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}=\frac{d}{dt}\sqrt{(2t)^2+(2t-2)^2}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{(2t)^2+(2t-2)^2}}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{8{t}^{2}-8t+4}}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{8(t-\frac{1}{2})^2+2}}$
步骤 5：确定切向加速度的大小
当$t=\frac{1}{2}$时，切向加速度的大小为：$a_t=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
质点的运动学方程为：$\overrightarrow{r}={t}^{2}\overrightarrow{i}+({t}^{2}-2t)\overrightarrow{j}$
步骤 2：计算质点的速度
质点的速度为：$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=2t\overrightarrow{i}+(2t-2)\overrightarrow{j}$
步骤 3：计算质点的加速度
质点的加速度为：$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$
步骤 4：计算切向加速度
质点在任意时刻的切向加速度为：$a_t=\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}=\frac{d}{dt}\sqrt{(2t)^2+(2t-2)^2}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{(2t)^2+(2t-2)^2}}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{8{t}^{2}-8t+4}}$
$=\frac{4t+2}{\sqrt{8(t-\frac{1}{2})^2+2}}$
步骤 5：确定切向加速度的大小
当$t=\frac{1}{2}$时，切向加速度的大小为：$a_t=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$