题目
1.单选题1.2 设函数f(x)=}(sin2x)/(x)&x<03x^2-2x+k&xgeq0在x=0点连续，则k=（）bigcirc 0bigcirc 1bigcirc 2bigcirc 3
1.单选题
1.2 设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin2x}{x}&x<0\\3x^{2}-2x+k&x\geq0\end{cases}$在x=0点连续，则k=（）
$\bigcirc$ 0
$\bigcirc$ 1
$\bigcirc$ 2
$\bigcirc$ 3
题目解答
答案
计算左极限：
\[
\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2 \quad \text{(等价无穷小代换)}
\]
计算右极限：
\[
\lim_{x \to 0^+} (3x^2 - 2x + k) = k
\]
由连续性条件，左极限等于右极限等于函数值：
\[
2 = k
\]
因此，$ k = 2 $，答案为 $\boxed{C}$。
解析
考查要点：本题主要考查函数在分段点处的连续性条件，涉及左极限、右极限的计算以及等价无穷小代换的应用。
解题核心思路：
函数在某点连续的充要条件是左极限等于右极限等于该点的函数值。因此，需要分别计算$x=0$处的左极限和右极限，并令其等于$f(0)$，从而解出$k$的值。
破题关键点：
- 左极限：当$x \to 0^-$时，使用$\sin2x \sim 2x$的等价无穷小代换简化计算。
- 右极限：直接代入$x=0$到右侧表达式，结果为$k$。
- 连续性条件：联立左极限、右极限和$f(0)$，解方程即可。
步骤1：计算左极限
当$x \to 0^-$时，$f(x) = \frac{\sin2x}{x}$。
利用等价无穷小$\sin2x \sim 2x$（当$x \to 0$时），得：
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin2x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2.$
步骤2：计算右极限
当$x \to 0^+$时，$f(x) = 3x^2 - 2x + k$。
直接代入$x=0$，得：
$\lim_{x \to 0^+} (3x^2 - 2x + k) = 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + k = k.$
步骤3：应用连续性条件
函数在$x=0$处连续，需满足：
$\text{左极限} = \text{右极限} = f(0).$
由$f(0) = 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + k = k$，联立得：
$2 = k.$