4.（2.0分）设A,B是n阶矩阵，则有(AB)^2=A^2B^2。()A. 对B. 错

步骤 1：展开 $(AB)^2$
$(AB)^2$ 可以展开为 $(AB)(AB)$，根据矩阵乘法的定义，这可以进一步写为 $A(BA)B$。
步骤 2：展开 $A^2B^2$
$A^2B^2$ 可以写为 $A(AB)B$。
步骤 3：比较 $(AB)^2$ 和 $A^2B^2$
由于矩阵乘法不满足交换律，即 $BA$ 不一定等于 $AB$，因此 $A(BA)B$ 不一定等于 $A(AB)B$。
步骤 4：提供反例
取矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，计算 $(AB)^2$ 和 $A^2B^2$。
计算 $(AB)^2$：
\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ (AB)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \]
计算 $A^2B^2$：
\[ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ A^2B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]
显然，$(AB)^2$ 不等于 $A^2B^2$。