题目
计算旋转抛物面 =1+dfrac ({x)^2+(y)^2}(2) 在https:/img.zuoyebang.cc/zyb_8379ad2415e95b2722975efbc813defb.jpgleqslant zleqslant 3 那部分曲面的面积的公式是-|||-() .-|||-A. iint sqrt (1+{x)^2+(y)^2}dsigma B. iint sqrt (1-{x)^2-(y)^2}dsigma -|||-__-|||-C. iint sqrt (1+{x)^2+(y)^2}dsigma D. iint sqrt (1-{x)^2-(y)^2}dsigma
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面的参数方程
旋转抛物面 $z=1+\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$ 可以看作是 $z=1+\dfrac {r^2}{2}$，其中 $r^2=x^2+y^2$。因此，曲面的参数方程可以表示为 $r(x,y)=\left(x,y,1+\dfrac {x^2+y^2}{2}\right)$。
步骤 2：计算曲面的面积元素
曲面的面积元素 $dS$ 可以通过计算曲面的法向量的模长来得到。曲面的法向量可以通过计算曲面的两个切向量的叉积得到。曲面的两个切向量分别是 $r_x=(1,0,x)$ 和 $r_y=(0,1,y)$。因此，法向量 $N=r_x\times r_y=(-x,-y,1)$。法向量的模长为 $\sqrt{x^2+y^2+1}$。因此，曲面的面积元素 $dS=\sqrt{x^2+y^2+1}d\sigma$，其中 $d\sigma$ 是 $x-y$ 平面上的面积元素。
步骤 3：确定积分区域
题目中给出的条件是 $1\leqslant x\leqslant 3$，因此积分区域是 $x$ 从 1 到 3 的范围。但是，由于曲面是旋转抛物面，因此 $y$ 的范围是 $-\infty$ 到 $+\infty$。但是，由于题目中没有给出 $y$ 的范围，因此我们假设 $y$ 的范围是 $-\infty$ 到 $+\infty$。因此，积分区域是 $1\leqslant x\leqslant 3$ 和 $-\infty\leqslant y\leqslant +\infty$。
步骤 4：写出曲面面积的积分公式
根据步骤 2 和步骤 3，曲面面积的积分公式为 $\iint \sqrt {1+{x}^{2}+{y}^{2}}d\sigma$，其中积分区域是 $1\leqslant x\leqslant 3$ 和 $-\infty\leqslant y\leqslant +\infty$。
旋转抛物面 $z=1+\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$ 可以看作是 $z=1+\dfrac {r^2}{2}$，其中 $r^2=x^2+y^2$。因此，曲面的参数方程可以表示为 $r(x,y)=\left(x,y,1+\dfrac {x^2+y^2}{2}\right)$。
步骤 2：计算曲面的面积元素
曲面的面积元素 $dS$ 可以通过计算曲面的法向量的模长来得到。曲面的法向量可以通过计算曲面的两个切向量的叉积得到。曲面的两个切向量分别是 $r_x=(1,0,x)$ 和 $r_y=(0,1,y)$。因此，法向量 $N=r_x\times r_y=(-x,-y,1)$。法向量的模长为 $\sqrt{x^2+y^2+1}$。因此，曲面的面积元素 $dS=\sqrt{x^2+y^2+1}d\sigma$，其中 $d\sigma$ 是 $x-y$ 平面上的面积元素。
步骤 3：确定积分区域
题目中给出的条件是 $1\leqslant x\leqslant 3$，因此积分区域是 $x$ 从 1 到 3 的范围。但是，由于曲面是旋转抛物面，因此 $y$ 的范围是 $-\infty$ 到 $+\infty$。但是，由于题目中没有给出 $y$ 的范围，因此我们假设 $y$ 的范围是 $-\infty$ 到 $+\infty$。因此，积分区域是 $1\leqslant x\leqslant 3$ 和 $-\infty\leqslant y\leqslant +\infty$。
步骤 4：写出曲面面积的积分公式
根据步骤 2 和步骤 3，曲面面积的积分公式为 $\iint \sqrt {1+{x}^{2}+{y}^{2}}d\sigma$，其中积分区域是 $1\leqslant x\leqslant 3$ 和 $-\infty\leqslant y\leqslant +\infty$。