1.计算下列定积分:-|||-(10) (int )_(1)^sqrt (3)dfrac (dx)({x)^2sqrt (1+{x)^2}};

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是涉及分母为$x^2\sqrt{1+x^2}$的有理函数积分。解题核心思路是通过三角替换将复杂的根式转化为三角函数表达式，简化积分过程。破题关键点在于选择合适的替换变量$x = \tan\theta$，将$\sqrt{1+x^2}$转化为$\sec\theta$，从而将积分转化为关于$\theta$的简单三角函数积分。

步骤1：三角替换

设$x = \tan\theta$，则$dx = \sec^2\theta \, d\theta$，且当$x$从$1$到$\sqrt{3}$时，$\theta$从$\frac{\pi}{4}$到$\frac{\pi}{3}$。此时：
$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2\theta} = \sec\theta$

步骤2：代入积分式

原积分变为：
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec^2\theta \, d\theta}{\tan^2\theta \cdot \sec\theta} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec\theta}{\tan^2\theta} \, d\theta$

步骤3：化简积分式

利用$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$和$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$，积分式化简为：
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} \, d\theta$

步骤4：变量替换

设$u = \sin\theta$，则$du = \cos\theta \, d\theta$，积分变为：
$\int_{u(\frac{\pi}{4})}^{u(\frac{\pi}{3})} \frac{du}{u^2} = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{-2} \, du$

步骤5：计算积分

积分结果为：
$\left[ -\frac{1}{u} \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{2}}$

步骤6：化简结果

有理化后得到：
$\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$