1.[单选题]下列一阶微分方程中，为可分离变量方程的是A. xydx- dy=xy^2dxB. xy'-cos x=yy'C. (y')^2x=x+yD. (y^2+xy)dy=x^2dx

本题考查一阶微分方程中可分离变量方程的判断。可分离变量方程的一般形式为$g(y)dy = f(x)dx$，即能将方程变形为一边只含$y$及其微分$dy$，另一边只含$x$及其微分$dx$的形式。

• 选项A：
  已知方程$xydx - dy = xy^{2}dx$，首先进行移项，把含有$dy$的项留在等式左边，含有$dx$的项移到等式右边，得到$-dy = xy^{2}dx - xydx$。
  然后提取公因式$xdx$，可得$-dy = xy(y - 1)dx$。
  两边同时除以$-1$，得到$dy = xy(1 - y)dx$。
  最后将方程变形为$\frac{dy}{y(1 - y)} = xdx$，此方程符合可分离变量方程的形式，所以选项A是可分离变量方程。
• 选项B：
  对于方程$xy' - \cos x = yy'$，先将$y'$写成$\frac{dy}{dx}$，则方程变为$x\frac{dy}{dx} - \cos x = y\frac{dy}{dx}$。
  移项可得$x\frac{dy}{dx} - y\frac{dy}{dx} = \cos x$。
  提取公因式$\frac{dy}{dx}$，得到$(x - y)\frac{dy}{dx} = \cos x$。
  两边同时除以$(x - y)$，得到$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x - y}$，无法将其变形为$g(y)dy = f(x)dx$的形式，所以选项B不是可分离变量方程。
• 选项C：
  方程$(y')^{2}x = x + y$中含有$y'$的平方项，不能将其变形为$g(y)dy = f(x)dx$的形式，所以选项C不是可分离变量方程。
• 选项D：
  方程$(y^{2} + xy)dy = x^{2}dx$，由于方程左边的$y^{2} + xy$无法分解为只关于$y$的函数与$dy$的乘积形式，不能将其变形为$g(y)dy = f(x)dx$的形式，所以选项D不是可分离变量方程。