10.(单选题,4.0分)-|||-微分方程 '=yln dfrac (y)(x) 的通解是(). ()-|||-A ln dfrac (y)(x)=cx+1-|||-B dfrac (y)(x)=Cx+1-|||-C dfrac (y)(x)=cx-|||-D lim _(xarrow 0)dfrac (y)(x)=cx

步骤 1：变量替换
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$。对 $y$ 求导，得到 $y' = u + xu'$。
步骤 2：代入原方程
将 $y = ux$ 和 $y' = u + xu'$ 代入原方程 $xy' = y\ln \frac{y}{x}$，得到 $x(u + xu') = ux\ln u$。
步骤 3：化简方程
化简得到 $xu' = u\ln u - u$，即 $xu' = u(\ln u - 1)$。
步骤 4：分离变量
将方程分离变量，得到 $\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$。
步骤 5：积分
对两边积分，得到 $\int \frac{du}{u(\ln u - 1)} = \int \frac{dx}{x}$。
步骤 6：求解积分
左边积分可得 $\ln|\ln u - 1| = \ln|x| + C$，即 $\ln u - 1 = Cx$。
步骤 7：代回原变量
代回 $u = \frac{y}{x}$，得到 $\ln \frac{y}{x} - 1 = Cx$，即 $\ln \frac{y}{x} = Cx + 1$。