2.6 已知4阶行列式如下D=}3&-5&2&11&1&0&-5-1&3&1&32&-4&-1&-3,求4A_(31)-4A_(32)+2A_(33)-4A_(34)和M_(12)+M_(22)+M_(32)+M_(42),其中M_(ij)、A_(ij)分别是第(i，j)位置元素的余子式和代数余子式.

本题主要考查行列式按行（列）展开定理以及余子式和代数余子式的相关知识。解题的关键在于理解行列式按行（列）展开的性质，并利用这些性质将所求所求式子转化为行列式的计算。

计算 $4A_{31} - 4A_{32} + 2A_{33 - 4A_{34}$

根据行列式按行展开定理：$n$ 阶行列式 $D$ 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 $D = a_{i1}A_{i1i}+a_{i2}A_{2i}+\cdots +a_{in}A_{ni}$（按第 $i$ 行展开）或 $D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}$（按第 $j$ 列展开）。
同时，若用某一行（列）的元素去乘以另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和，则结果为 $0$。
对于 $4A_{31} - 4A_{32} + 2A_{33} - 4A_{34}$，可以看作是将原行列式 $D的第三行元素替换为 \(4,-4,2,-4$ 后得到的新行列式按第三行展开的结果。
设新行列式为 $\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\4&-4&2&-4\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}$。
对该行列式进行化简计算：

• 第三行提出公因子 $2$，得到 $2\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\2&-2&1&-2\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}$。
• 第三行减去第二行的 $2$ 倍，得到 $2\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\0&0&1&8\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}$。
  -第四行减去第二行的 $2$ 倍，得到 $2\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\0&0&1&8\\0&-6&-1&7\end{vmatrix}$。
  -交换第三行加上第四行，得到 $2\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\0&-6&0&15\\0&-6&-1&7\end{vmatrix}$。
  此时第三行与第四行成比例为 $1:1$，根据行列式性质，若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式的值为 $0$，所以 $4A_{31} - 4A_{32} + 2A_{33} - 4A_{34}=0$。

计算 $M_{12} + M_{22} + M_{32} + M_{42}$

因为 $A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，所以 $M_{ij}=(-1)^{i + j}A_{ij}}$。
则 $M_{12} + M_{22} + M_{32} + M_{42}=(-1)^{1 + 2}A_{12}+(-1)^{2 + 2}A_{22}+(-1)^{3 + 2}A_{32}+(-1)^{4 + 2}A_{42}=-A_{12}+A_{22}-A_{32}+A_{42}$。
这可以看作是将原行列式 $D$ 的第二列元素替换为 $-1,1,-1,1$ 后得到的新行列式按第二列展开的结果。
新行列式为 $\begin{vmatrix}3&-1&2&1\\1&1&0&-5\\-1&-1&1&3\\2&1&-1&-3\end{vmatrix}$。
第一行加上第二行，得到 $\begin{vmatrix}4&0&2&-4\\1&1&0&-5\\-1&-1&1&3\\2&1&-1&-3\end{vmatrix}$。
第三行加上第二行，得到 $\begin{vmatrix}4&0&2&-4\\1&1&0&-5\\0&0&1&-2\\2&1&-1&-3\end{vmatrix}$。
第四行减去第二行，得到 $\begin{vmatrix}4&0&2&-4\\1&1&0&-5\\0&0&1&-2\\1&0&-1&2\end{v}$。
第一行减去第四行的 $4$ 倍，得到 $\begin{vmatrix}0&0&6&-12\\1&1&0&-5\\0&0&1&-2\\1&0&-1&2\end{v}$。
此时第一行与第三行比例为 $6:1$，根据行列式的值为 $0$，所以 $M_{12} + M_{22} + M_{32} + M_{42}=0$。