已知I=oint_(|z|=1)(sin z)/((z-2)^3)dz，则I=（ ）A. 0B. 2pi iC. -2pi isin2D. 2pi icos2

考查要点：本题主要考查复变函数中的柯西积分定理的应用，以及判断被积函数在积分路径内的解析性。

解题核心思路：

1. 确定积分路径：积分路径为单位圆$|z|=1$，这是一个简单闭曲线。
2. 分析被积函数的奇点：被积函数$\frac{\sin z}{(z-2)^3}$的奇点为$z=2$，需判断该点是否在积分路径内部。
3. 应用柯西积分定理：若被积函数在积分路径内和路径上解析，则积分结果为$0$。

破题关键点：

• 奇点位置判断：$z=2$位于单位圆外（因$|2|=2>1$），故被积函数在积分路径内无奇点。
• 解析性确认：$\sin z$在复平面内处处解析，分母$(z-2)^3$在积分路径内无零点，因此被积函数在积分路径内和上解析。

根据柯西积分定理，若函数$f(z)$在简单闭曲线$C$内部和$C$上解析，则$\oint_C f(z) \, dz = 0$。

1. 分析被积函数：
   被积函数为$f(z) = \frac{\sin z}{(z-2)^3}$。

   • $\sin z$在复平面内处处解析。
   • 分母$(z-2)^3$在$z=2$处有奇点，但$z=2$位于单位圆$|z|=1$外（因$|2|=2>1$）。

2. 验证解析性：
   在积分路径$|z|=1$内，$f(z)$无奇点，且分母不为零，因此$f(z)$在积分路径内和上解析。

3. 应用柯西积分定理：
   由于$f(z)$满足柯西积分定理的条件，积分结果为：
   $I = \oint_{|z|=1} \frac{\sin z}{(z-2)^3} \, dz = 0.$