题目
第九大题 证明题(共1题，满分6分) 1.主观题(6分) 已知向量组α_(1),α_(2),α_(3)线性无关， β_(1)=α_(1)+α_(2),β_(2)=2α_(1)+α_(2),β_(3)=2α_(2)+α_(3)证明:向量组β_(1),β_(2),β_(3)线性无关.
第九大题 证明题(共1题，满分6分) 1.主观题(6分) 已知向量组$α_{1},α_{2},α_{3}$线性无关， $β_{1}=α_{1}+α_{2},β_{2}=2α_{1}+α_{2},β_{3}=2α_{2}+α_{3}$证明:向量组$β_{1},β_{2},β_{3}$线性无关.
题目解答
答案
为了证明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关，我们需要证明对于任意的标量 $k_1, k_2, k_3$，如果 $k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2 + k_3 \beta_3 = 0$，则 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。 首先，将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 表示： \[ \beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2, \quad \beta_2 = 2\alpha_1 + \alpha_2, \quad \beta_3 = 2\alpha_2 + \alpha_3 \] 考虑线性组合 $k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2 + k_3 \beta_3 = 0$： \[ k_1 (\alpha_1 + \alpha_2) + k_2 (2\alpha_1 + \alpha_2) + k_3 (2\alpha_2 + \alpha_3) = 0 \] 合并同类项，得到： \[ (k_1 + 2k_2) \alpha_1 + (k_1 + k_2 + 2k_3) \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = 0 \] 由于向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，因此 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的系数必须全部为零。这给出了以下方程组： \[ \begin{cases} k_1 + 2k_2 = 0 \\ k_1 + k_2 + 2k_3 = 0 \\ k_3 = 0 \end{cases} \] 从第三个方程 $k_3 = 0$，代入前两个方程，得到： \[ \begin{cases} k_1 + 2k_2 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \end{cases} \] 从第二个方程 $k_1 + k_2 = 0$，解得 $k_1 = -k_2$。将 $k_1 = -k_2$ 代入第一个方程，得到： \[ -k_2 + 2k_2 = 0 \implies k_2 = 0 \] 再将 $k_2 = 0$ 代入 $k_1 = -k_2$，得到： \[ k_1 = 0 \] Thus, $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。因此，向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。 $\boxed{\text{向量组 } \beta_1, \beta_2, \beta_3 \text{ 线性无关}}$
解析
本题考查向量组线性无关的证明，解题思路是通过设线性组合为零，将向量用已知向量表示后合并同类项，根据已知向量组线性无关得到系数方程组，求解方程组证明系数都为零。
- 设线性组合 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$。
- 将 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2 = 2\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_3 = 2\alpha_2+\alpha_3$ 代入上式可得：
$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(2\alpha_1+\alpha_2)+k_3(2\alpha_2+\alpha_3)=0$ - 合并同类项得到：
$(k_1 + 2k_2)\alpha_1+(k_1 + k_2+2k_3)\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$ - 因为向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，所以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的系数必须全部为零，即得到方程组：
$\begin{cases}k_1 + 2k_2 = 0\\k_1 + k_2+2k_3 = 0\\k_3 = 0\end{cases}$ - 从第三个方程 $k_3 = 0$ 代入前两个方程，得到：
$\begin{cases}k_1 + 2k_2 = 0\\k_1 + k_2 = 0\end{cases}$ - 从第二个方程 $k_1 + k_2 = 0$，解得 $k_1=-k_2$。将 $k_1=-k_2$ 代入第一个方程，得到：
$-k_2 + 2k_2 = 0\implies k_2 = 0$ - 再将 $k_2 = 0$ 代入 $k_1=-k_2$，得到 $k_1 = 0$。