题目
2 设一物质的物态方程具有以下形式:试证明其内能与体积无关.
2 设一物质的物态方程具有以下形式:
试证明其内能与体积无关.
题目解答
答案
解:根据题设,物质的物态方程具有以下形式:
(1)故有
(2)但根据式(,有
(3)所以
(4)这就是说,如果物质具有形式为(1)的物态方程,则物质的内能与体积无关,只是温度T的函数.
2.3 求证: 
解:焓的全微分为
(1)令
,得
,得
(2)内能的全微分为
(3)令
,得
,得
(4)2.13 X射线衍射实验发现,橡皮带未被拉紧时具有无定形结构;当受张力而被拉伸时,具有晶形结构. 这一事实表明,橡皮带具有大的分子链.
(a)试讨论橡皮带在等温过程中被拉伸时,它的熵是增加还是减少;
(b)试证明它的膨胀系数
是负的.
是负的.解:(a)熵是系统无序程度的量度.橡皮带经等温拉伸过程后由无定形结构转变为晶形结构,说明过程后其无序度减少,即熵减少了,所以有
(1)(b)由橡皮带自由能的全微分
可得麦氏关系
(2)综合式(1)和式(2),知
(3)由橡皮带的物态方程
知偏导数间存在链式关系
知偏导数间存在链式关系即
(4)在温度不变时橡皮带随张力而伸长说明
(5)综合式(3)-(5)知
所以橡皮带的膨胀系数是负的,即
(6)2.15 计算热辐射在等温过程中体积由
变到
时所吸收的热量.
变到时所吸收的热量.解:根据式(,在可逆等温过程中系统吸收的热量为
(1)式(
(2)所以热辐射在可逆等温过程中体积由变到时所吸收的热量为
变到时所吸收的热量为解析
步骤 1：物态方程形式
物质的物态方程具有以下形式：$p = f(V)T$，其中 $p$ 是压强，$V$ 是体积，$T$ 是温度，$f(V)$ 是一个只依赖于体积的函数。
步骤 2：内能的全微分
内能 $U$ 的全微分可以表示为：$dU = TdS - pdV$，其中 $S$ 是熵。
步骤 3：计算内能对体积的偏导数
根据内能的全微分，内能对体积的偏导数为：$(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial S}{\partial V})_T - p$。根据热力学第二定律，$(\frac{\partial S}{\partial V})_T = (\frac{\partial p}{\partial T})_V$，因此有$(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial p}{\partial T})_V - p$。
步骤 4：代入物态方程
将物态方程 $p = f(V)T$ 代入上式，得到 $(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial (f(V)T)}{\partial T})_V - f(V)T = T(f(V)) - f(V)T = 0$。这表明内能 $U$ 对体积 $V$ 的偏导数为零，即内能与体积无关。
物质的物态方程具有以下形式：$p = f(V)T$，其中 $p$ 是压强，$V$ 是体积，$T$ 是温度，$f(V)$ 是一个只依赖于体积的函数。
步骤 2：内能的全微分
内能 $U$ 的全微分可以表示为：$dU = TdS - pdV$，其中 $S$ 是熵。
步骤 3：计算内能对体积的偏导数
根据内能的全微分，内能对体积的偏导数为：$(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial S}{\partial V})_T - p$。根据热力学第二定律，$(\frac{\partial S}{\partial V})_T = (\frac{\partial p}{\partial T})_V$，因此有$(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial p}{\partial T})_V - p$。
步骤 4：代入物态方程
将物态方程 $p = f(V)T$ 代入上式，得到 $(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial (f(V)T)}{\partial T})_V - f(V)T = T(f(V)) - f(V)T = 0$。这表明内能 $U$ 对体积 $V$ 的偏导数为零，即内能与体积无关。