题目
[图片](4) 1-(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(8)-(1)/(16)=( )
[图片]
(4)$ 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}=( )$
题目解答
答案
原式可化为：
\[
1 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \right)
\]
观察括号内的分数，发现它们构成一个等比数列，首项为 $\frac{1}{2}$，公比为 $\frac{1}{2}$。该数列的和为：
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^4)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{16})}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
\]
因此，原式等于：
\[
1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}
\]
最终答案为：$\boxed{\frac{1}{16}}$。
解析
本题考查分数的加减法运算以及等比数列求和公式的应用。解题思路是先将原式变形为$1$减去括号内分数和的形式，再判断括号内的分数构成等比数列，利用等比数列求和公式求出括号内分数的和，最后用$1$减去这个和得到最终结果。
- 将原式变形：
根据减法的性质$a - b - c - d - e = a - (b + c + d + e)$，将原式$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}$化为$1 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \right)$。 - 判断括号内分数构成的数列类型并求和：
观察括号内的分数$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{16}$，发现后一项与前一项的比值都为$\frac{1}{2}$，所以它们构成一个首项$a_1 = \frac{1}{2}$，公比$q = \frac{1}{2}$，项数$n = 4$的等比数列。
根据等比数列求和公式$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（其中$S_n$为前$n$项和，$a_1$为首项，$q$为公比），可得：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^4)}{1 - \frac{1}{2}}$
先计算指数部分$(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$，则上式变为$\frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{16})}{\frac{1}{2}}$。
因为分子分母的$\frac{1}{2}$可以约掉，所以$\frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{16})}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{16}$。
再计算$1 - \frac{1}{16}=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$。 - 计算最终结果：
将括号内分数的和$\frac{15}{16}$代入$1 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \right)$，可得$1 - \frac{15}{16}=\frac{16}{16}-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$。