(43) int dfrac ({x)^3+1}({({x)^2+1)}^2}dx ;

本题考查不定积分的计算，解题思路是先通过换元法将被积函数转化为关于三角函数的积分，然后对三角函数积分进行化简计算，最后再将结果换回原变量。

1. 换元：
   已知设$x = \tan t(-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2})$，根据三角函数关系可得$x^{2}+1=\sec^{2}t$，对$x = \tan t$求导，根据求导公式$(\tan t)^\prime=\sec^{2}t$，可得$dx = \sec^{2}t dt$。
   将其代入到原积分$\int \frac{x^{3}+1}{(x^{2}+1)^{2}}dx$中，得到：
   $\int \frac{x^{3}+1}{(x^{2}+1)^{2}}dx=\int \frac{\tan^{3}t + 1}{\sec^{4}t}\cdot\sec^{2}t dt=\int \frac{\tan^{3}t + 1}{\sec^{2}t}dt$
   因为$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}$，$\sec t=\frac{1}{\cos t}$，所以$\frac{\tan^{3}t + 1}{\sec^{2}t}=(\frac{\sin t}{\cos t})^{3}\cos^{2}t+\cos^{2}t=\frac{\sin^{3}t}{\cos t}+\cos^{2}t$。
   则$\int \frac{\tan^{3}t + 1}{\sec^{2}t}dt=\int \frac{\sin^{3}t}{\cos t}dt+\int \cos^{2}t dt$。
2. 分别计算两个积分：
   • 计算$\int \frac{\sin^{3}t}{\cos t}dt$：
     因为$\sin^{2}t = 1 - \cos^{2}t$，所以$\int \frac{\sin^{3}t}{\cos t}dt=\int \frac{\sin^{2}t\cdot\sin t}{\cos t}dt=\int \frac{(1 - \cos^{2}t)\sin t}{\cos t}dt$。
     令$u = \cos t$，则$du = -\sin t dt$，那么$\int \frac{(1 - \cos^{2}t)\sin t}{\cos t}dt=-\int \frac{1 - u^{2}}{u}du=-\int (\frac{1}{u}-u)du$。
     根据积分公式$\int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，$\int u du=\frac{1}{2}u^{2}+C$，可得：
     $-\int (\frac{1}{u}-u)du=-(\ln|u|-\frac{1}{2}u^{2})+C=\frac{1}{2}u^{2}-\ln|u|+C=\frac{1}{2}\cos^{2}t-\ln|\cos t|+C$。
   • 计算$\int \cos^{2}t dt$：
     根据二倍角公式$\cos 2t = 2\cos^{2}t - 1$，可得$\cos^{2}t=\frac{1 + \cos 2t}{2}$。
     则$\int \cos^{2}t dt=\int \frac{1 + \cos 2t}{2}dt=\frac{1}{2}\int (1 + \cos 2t)dt$。
     根据积分公式$\int 1 dt=t+C$，$\int \cos 2t dt=\frac{1}{2}\sin 2t+C$，可得：
     $\frac{1}{2}\int (1 + \cos 2t)dt=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}\sin 2t)+C=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t+C$。
3. 将两个积分结果相加：
   $\int \frac{x^{3}+1}{(x^{2}+1)^{2}}dx=\frac{1}{2}\cos^{2}t-\ln|\cos t|+\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t+C$。
   又因为$\sin 2t = 2\sin t\cos t$，所以$\int \frac{x^{3}+1}{(x^{2}+1)^{2}}dx=\frac{1}{2}\cos^{2}t-\ln|\cos t|+\frac{t}{2}+\frac{1}{2}\sin t\cos t+C$。
4. 回代原变量：
   由$x = \tan t$，根据辅助三角形（图 4 - 1）可得$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$，$\sin t=\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$，且$t = \arctan x$。
   将其代入上式可得：
   $\begin{align*}&\frac{1}{2}\cos^{2}t-\ln|\cos t|+\frac{t}{2}+\frac{1}{2}\sin t\cos t+C\\=&\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 + x^{2}}-\ln\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}+\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}+C\\=&\frac{1}{2(1 + x^{2})}+\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(1 + x^{2})}+C\\=&\frac{1 + x}{2(1 + x^{2})}+\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+\frac{1}{2}\arctan x+C\end{align*}$