题目

令1 1 1 1-|||-1 2 4 16-|||-1 3 9 27-|||-1 4 16 64，设1 1 1 1-|||-1 2 4 16-|||-1 3 9 27-|||-1 4 16 64为对应元素1 1 1 1-|||-1 2 4 16-|||-1 3 9 27-|||-1 4 16 64的余子式，则1 1 1 1-|||-1 2 4 16-|||-1 3 9 27-|||-1 4 16 64=_______。1 1 1 1-|||-1 2 4 16-|||-1 3 9 27-|||-1 4 16 641 1 1 1-|||-1 2 4 16-|||-1 3 9 27-|||-1 4 16 641 1 1 1-|||-1 2 4 16-|||-1 3 9 27-|||-1 4 16 641 1 1 1-|||-1 2 4 16-|||-1 3 9 27-|||-1 4 16 64

令 $D=\begin{vmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&2&4&16 \\ 1&3&9&27 \\ 1&4&16&64 \\ \end{vmatrix}$ ，设 $M_{ij}$ 为对应元素 $a_{ij}$ 的余子式，则 $M_{31}-2M_{32}+4M_{33}-16M_{34}$ =_______。

$A.48$

$B.24$

$C.-48$

$D.0$

题目解答

答案

∵根据余子式与代数余子式的关系 $A_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}M_{ij}$ ，可知 $M_{31}-2M_{32}+4M_{33}-16M_{34}=A_{31}+2A_{32}+4A_{33}+16A_{34}$ ，故将行列式 $D=\begin{vmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&2&4&16 \\ 1&3&9&27 \\ 1&4&16&64 \\ \end{vmatrix}$ 的第三行的元素 $1、3、9、27$ 分别换成 $1、2、4、16$ ，可构造出新的行列式 $|A|=\begin{vmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&2&4&16 \\ 1&2&4&16 \\ 1&4&16&64 \\ \end{vmatrix}$ ，∴根据行列式按行展开法则 $|A|=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \newline a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \newline \vdots & \vdots && \vdots \newline a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \newline \end{vmatrix} =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$ 以及行列式的运算性质“行列式中如果有两行（列）完全相同，则此行列式等于0”，可知 $M_{31}-2M_{32}+4M_{33}-16M_{34}=A_{31}+2A_{32}+4A_{33}+16A_{34}$ $=|A|=\begin{vmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&2&4&16 \\ 1&2&4&16 \\ 1&4&16&64 \\ \end{vmatrix}=0$ ，D正确。

解析

步骤 1：理解余子式与代数余子式的关系
根据余子式与代数余子式的关系${A}_{ij}={(-1)}^{i+j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是元素$a_{ij}$的余子式，$A_{ij}$是元素$a_{ij}$的代数余子式。因此，${M}_{31}-2{M}_{32}+4{M}_{33}-16{M}_{34}$可以转换为${A}_{31}+2{A}_{32}+4{A}_{33}+16{A}_{34}$，因为$(-1)^{3+1}=1$，$(-1)^{3+2}=-1$，$(-1)^{3+3}=1$，$(-1)^{3+4}=-1$。

步骤 2：构造新的行列式
将行列式$D$的第三行的元素1、3、9、27分别换成1、2、4、16，构造出新的行列式$|A|$，即$|A|=\left |\begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 4& 16\\ 1& 2& 4& 16\\ 1& 4& 16& 64\end{matrix} | \right.$。

步骤 3：计算行列式$|A|$
根据行列式的性质，如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式等于0。因此，$|A|=0$，即${A}_{31}+2{A}_{32}+4{A}_{33}+16{A}_{34}=0$，所以${M}_{31}-2{M}_{32}+4{M}_{33}-16{M}_{34}=0$。