题目
11.[综合与实践]小明在学习幂的运算时发-|||-现:若 ^m=(a)^n(agt 0 且 neq 1 ,m,n都是-|||-正整数),则 m=n 。例如,若 ^m=(3)^5 ,则-|||-.m=5 o-|||-请你和小明一起用这个方法解决下列-|||-问题:-|||-(1)若 times (4)^xtimes (8)^x=(2)^16 ,则 x= __ ;-|||-(2)已知 ^x+1+(3)^x+2=108 ,求x的值。
题目解答
答案
(1) x=3
(2) x=2
(2) x=2
解析
步骤 1：化简等式
将 $2\times {4}^{x}\times {8}^{x}={2}^{16}$ 中的 $4^x$ 和 $8^x$ 用 $2$ 的幂表示，即 $4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$。
步骤 2：合并幂
将等式 $2\times {4}^{x}\times {8}^{x}={2}^{16}$ 转化为 $2\times 2^{2x}\times 2^{3x}=2^{16}$，即 $2^{1+2x+3x}=2^{16}$。
步骤 3：求解x
根据幂的性质，$1+2x+3x=16$，解得 $x=3$。
步骤 4：化简等式
将 ${3}^{x+1}+{3}^{x+2}=108$ 转化为 $3^{x+1}+3^{x+1}\times 3=108$，即 $3^{x+1}(1+3)=108$。
步骤 5：求解x
根据幂的性质，$3^{x+1}\times 4=108$，解得 $3^{x+1}=27$，即 $3^{x+1}=3^3$，解得 $x=2$。
将 $2\times {4}^{x}\times {8}^{x}={2}^{16}$ 中的 $4^x$ 和 $8^x$ 用 $2$ 的幂表示，即 $4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$。
步骤 2：合并幂
将等式 $2\times {4}^{x}\times {8}^{x}={2}^{16}$ 转化为 $2\times 2^{2x}\times 2^{3x}=2^{16}$，即 $2^{1+2x+3x}=2^{16}$。
步骤 3：求解x
根据幂的性质，$1+2x+3x=16$，解得 $x=3$。
步骤 4：化简等式
将 ${3}^{x+1}+{3}^{x+2}=108$ 转化为 $3^{x+1}+3^{x+1}\times 3=108$，即 $3^{x+1}(1+3)=108$。
步骤 5：求解x
根据幂的性质，$3^{x+1}\times 4=108$，解得 $3^{x+1}=27$，即 $3^{x+1}=3^3$，解得 $x=2$。