题目
6.设向量组a1、a2、a3线性无关,a2、a3、a4线性相关,则以下命题中,不一定成立的是( )A. a1不能被a2、a3、a4 线性表示B. a2不能被a1、a3、a4 线性表示;C. a4能被a1、a2、a3 线性表示D. a1、a2、a3、a4 线性相关
6.设向量组a1、a2、a3线性无关,a2、a3、a4线性相关,则以下命题中,不一定成立的是( )
A. a1不能被a2、a3、a4 线性表示
B. a2不能被a1、a3、a4 线性表示;
C. a4能被a1、a2、a3 线性表示
D. a1、a2、a3、a4 线性相关
题目解答
答案
B. a2不能被a1、a3、a4 线性表示;
解析
步骤 1:理解线性无关和线性相关的定义
向量组线性无关意味着没有一个向量可以被其他向量线性表示。线性相关则意味着至少有一个向量可以被其他向量线性表示。
步骤 2:分析向量组a1、a2、a3线性无关
由于a1、a2、a3线性无关,这意味着a1不能被a2、a3线性表示,a2不能被a1、a3线性表示,a3不能被a1、a2线性表示。
步骤 3:分析向量组a2、a3、a4线性相关
由于a2、a3、a4线性相关,这意味着至少有一个向量可以被其他两个向量线性表示。根据线性相关性,a4可以被a2、a3线性表示。
步骤 4:分析选项
A. a1不能被a2、a3、a4线性表示:由于a1、a2、a3线性无关,a1不能被a2、a3线性表示,而a4可以被a2、a3线性表示,因此a1不能被a2、a3、a4线性表示。
B. a2不能被a1、a3、a4线性表示:由于a2、a3、a4线性相关,a2可以被a3、a4线性表示,因此a2不能被a1、a3、a4线性表示不一定成立。
C. a4能被a1、a2、a3线性表示:由于a2、a3、a4线性相关,a4可以被a2、a3线性表示,因此a4能被a1、a2、a3线性表示。
D. a1、a2、a3、a4线性相关:由于a2、a3、a4线性相关,因此a1、a2、a3、a4线性相关。
向量组线性无关意味着没有一个向量可以被其他向量线性表示。线性相关则意味着至少有一个向量可以被其他向量线性表示。
步骤 2:分析向量组a1、a2、a3线性无关
由于a1、a2、a3线性无关,这意味着a1不能被a2、a3线性表示,a2不能被a1、a3线性表示,a3不能被a1、a2线性表示。
步骤 3:分析向量组a2、a3、a4线性相关
由于a2、a3、a4线性相关,这意味着至少有一个向量可以被其他两个向量线性表示。根据线性相关性,a4可以被a2、a3线性表示。
步骤 4:分析选项
A. a1不能被a2、a3、a4线性表示:由于a1、a2、a3线性无关,a1不能被a2、a3线性表示,而a4可以被a2、a3线性表示,因此a1不能被a2、a3、a4线性表示。
B. a2不能被a1、a3、a4线性表示:由于a2、a3、a4线性相关,a2可以被a3、a4线性表示,因此a2不能被a1、a3、a4线性表示不一定成立。
C. a4能被a1、a2、a3线性表示:由于a2、a3、a4线性相关,a4可以被a2、a3线性表示,因此a4能被a1、a2、a3线性表示。
D. a1、a2、a3、a4线性相关:由于a2、a3、a4线性相关,因此a1、a2、a3、a4线性相关。