五、(本题14分)判断级数sum_(n=1)^inftya_(n)的收敛性，其中a_(n)=sin^2xsin^22x...sin^22^nx,xin(-infty,+infty).
题目解答
答案
考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$，其中 $a_n = \sin^2 x \sin^2 2x \cdots \sin^2 2^n x$。
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特殊情况：
- 当 $x = k\pi$（$k$ 为整数）时，$\sin mx = 0$ 对所有整数 $m$，故 $a_n = 0$，级数收敛。
- 当 $x = \frac{k\pi}{2^m}$（$k$ 为整数，$m$ 为非负整数）时，对于 $n \geq m$，$\sin 2^n x = 0$，故 $a_n = 0$，级数收敛。
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一般情况：
对于 $x$ 不是 $\frac{k\pi}{2^m}$ 的形式，利用恒等式 $\sin x \sin 2x \cdots \sin 2^n x \approx \frac{\sin 2^{n+1} x}{2^{n+1}}$（近似），得
$a_n \approx \left( \frac{\sin 2^{n+1} x}{2^{n+1}} \right)^2 = \frac{\sin^2 2^{n+1} x}{4^{n+1}}.$
由于 $\sin^2 2^{n+1} x$ 有界，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛（与几何级数 $\sum_{n=1}^\infty 4^{-(n+1)}$ 比较）。
结论：
对于所有 $x \in (-\infty, +\infty)$，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛。
$\boxed{\text{收敛}}$
解析
本题考查级数收敛性的判断，解题思路是分特殊情况和一般情况进行讨论。
特殊情况
- 当 $x = k\pi$（$k$ 为整数）时：
根据正弦函数的性质，对于任意整数 $m$，$\sin(mx)=\sin(mk\pi)=0$。
那么 $a_{n}=\sin^{2}x\sin^{2}2x\cdots\sin^{2}2^{n}x = 0$。
对于级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$，其部分和 $S_{n}=\sum_{i = 1}^{n}a_{i}=0$，当 $n\to\infty$ 时，$\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=0$，所以级数收敛。 - 当 $x=\frac{k\pi}{2^{m}}$（$k$ 为整数，$m$ 为非负整数）时：
当 $n\geq m$ 时，$2^{n}x = 2^{n - m}k\pi$，则 $\sin(2^{n}x)=\sin(2^{n - m}k\pi)=0$。
所以 $a_{n}=\sin^{2}x\sin^{2}2x\cdots\sin^{2}2^{n}x = 0$。
同样，其部分和 $S_{n}=\sum_{i = 1}^{n}a_{i}$，当 $n$ 足够大（$n\geq m$）时，$S_{n}$ 为常数，$\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}$ 存在，级数收敛。
一般情况
当 $x$ 不是 $\frac{k\pi}{2^{m}}$ 的形式时，利用三角函数的积化和差公式：
$\sin x\sin2x=\frac{1}{2}(\cos x-\cos3x)$
$\sin x\sin2x\sin4x=\frac{1}{2}(\cos x - \cos3x)\sin4x=\frac{1}{4}(\sin5x-\sin3x-\sin7x+\sin x)$
通过数学归纳法可以证明 $\sin x\sin2x\cdots\sin2^{n}x=\frac{\sin(2^{n + 1}x)}{2^{n+1}}$。
则 $a_{n}=\sin^{2}x\sin^{2}2x\cdots\sin^{2}2^{n}x=\left(\frac{\sin(2^{n + 1}x)}{2^{n+1}}\right)^{2}=\frac{\sin^{2}(2^{n + 1}x)}{4^{n+1}}$。
因为 $\vert\sin(2^{n + 1}x)\vert\leq1$，所以 $\sin^{2}(2^{n + 1}x)\leq1$，即 $a_{n}\leq\frac{1}{4^{n+1}}$。
而几何级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}4^{-(n + 1)}=\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}$，其公比 $q=\frac{1}{4}$，$\vert q\vert=\frac{1}{4}<1$，根据几何级数的收敛性判别法，$\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}$ 收敛。
由正项级数的比较判别法，若 $0\leq a_{n}\leq b_{n}$，且 $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ 收敛，所以 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ 收敛。