热电效应导热材料中的热流和电流之间相互作用而产生热电效应．本题希望研究导热材料的三个主要热电效应：焦耳效应、塞贝克效应和珀耳帖效应，忽略其他热电效应．①焦耳效应．载流子(电子)与晶格相互作用产生焦耳热，称为焦耳效应．载流子定向运动形成电流，载流子的一部分定向运动动能传递给晶格振动，使得晶体被加热．焦耳效应是不可逆的．②塞贝克效应．由两种不同的导电材料制成的导体 A 和导体 B 组成的热电偶中可观察到塞贝克效应．热电偶可由导体 A 和导体 B 直接连在一起形成环状构成(图T19.3.1(a))，或者导体 A 和导体 B 通过热容和电阻率都非常小的导体材料制成的中间导体 C 连接在一起构成(图T19.3.1(b))．如图T19.3.1所示，当热电偶的两个连接端与不同温度的大热源 T1 和 T2(T1>T2)接触时，会产生塞贝克电动势：E=α(T1−T2)．T1-|||-A B-|||-A-|||-k-|||-T2-|||-(1) 热端 T1 C-|||-A-|||-A B-|||-(2) 冷端 T2 C-|||-(a)导体A与导体 B直接连接-|||-(b)导体A与导体 B通过中间导体C连接-|||-图T19.3.1 热电偶(塞贝克效应)(T1 为热端,T2为冷端)其中 α 是热电偶的塞贝克系数，其与温度无关．塞贝克效应主要用于热电发电机，将热能转化为电能．③珀耳帖效应．珀耳帖效应是指：热电偶由两种不同的导电材料制成的导体 A 和导体 B 直接相连构成(图T19.3.2(a))或者导体 A 和导体 B 通过第三种导体材料制成的中间导体 C 相连构成(图T19.3.2(b))．当电流通过热电偶时，两种导体的连接处不是在吸热就是在散热．两种导体的连接处的珀耳帖热功率为 q=πI．T1-|||-A B-|||-A-|||-k-|||-T2-|||-(1) 热端 T1 C-|||-A-|||-A B-|||-(2) 冷端 T2 C-|||-(a)导体A与导体 B直接连接-|||-(b)导体A与导体 B通过中间导体C连接-|||-图T19.3.1 热电偶(塞贝克效应)(T1 为热端,T2为冷端)其中 π 称为珀耳帖系数．具有珀耳帖效应的热电偶的闭环电路(如图T19.3.2(b)所示)可用于制作制冷装置，热量从孤立隔离的一个连接端传出，然后在另一个连接端释放．焦耳效应是不可逆的，但塞贝克效应和珀耳帖效应是可逆的．尽管塞贝克效应和珀耳帖效应需要温差元件间的连接端，但本质上还是整体效应．为简单起见，假定热量只能通过对周围环境的辐射而散失，忽略对流和传导导致的热量散失，且热流仅局限在热电偶内部以及热端和冷端．本题中热电偶 AB 的长度为 0.02m，塞贝克系数为 α=420μV/K，组成热电偶 AB 的两种材料的热学参数和电学参数如表T19.3.1所示．表T19.3.1 热电偶所用材料参数(室温)名称材料电阻率 ρ/(Ω⋅m)热导率 k/(W/m⋅K)ABi2Te2.7Se0.31.0×10−51.4BBi0.5Sb1.5te31.0×10−51.4(1)A 部分 均匀导体棒中的热量传输如图T19.3.3所示，电流 I 沿长为 L、电阻率为 ρ、热导率为 k 的均匀导体棒流动．导体棒的两端分别位于 Ox 轴的 x=0 和 x=L 处．导体棒在 x=0 处的温度为 T1，在 x=L 处的温度为 T2，导体棒两端的温度 T1，T2 都保持恒定．T1-|||-A B-|||-A-|||-k-|||-T2-|||-(1) 热端 T1 C-|||-A-|||-A B-|||-(2) 冷端 T2 C-|||-(a)导体A与导体 B直接连接-|||-(b)导体A与导体 B通过中间导体C连接-|||-图T19.3.1 热电偶(塞贝克效应)(T1 为热端,T2为冷端)根据傅里叶定律，导体棒中的热流 q(x)(单位时间内通过垂直于 x 轴的横截面的总热量)为q(x)=−kSdT(x)dx．其中 k 为热导率，S 为导体棒的横截面积．假定没有热量散失到环境中．(1)当导体棒处于稳态时，求导体棒中的温度分布 T(x) 的表达式．数学提示：微分方程 d2T(x)dx2=a 的解为 T(x)=12ax2+C1x+C2，其中 C1 和 C2 由边界条件确定．(2)求导体棒中的热流 q(x) 的表达式，并给出导体棒两端的热流 q(0) 和 q(L) 的表达式．(2)B 部分 珀耳帖系数与塞贝克系数之间的关系在所有温度范围内，珀耳帖系数和塞贝克系数之间的关系可用热力学证明．导体材料 A 和导体材料 B 的电阻率足够小，因此可以忽略焦耳效应．导体材料 A 和导体材料 B 通过电阻率和热容都很小的第三种导体材料 C 制成如图T19.3.1(b)所示的热电偶，该热电偶的塞贝克系数为 α．本部分利用这种特殊情形的热电偶来推导珀耳帖系数和塞贝克系数之间的关系．已知该热电偶在温度为 T1 的热端和温度为 T2 的冷端的珀耳帖系数分别为 π1 和 π2．在电学过程中，热电偶中的电子气体进行理想的热力学卡诺循环．(1)求电子气体从热端吸收的热量 q1 的表达式．(2)求电子气体传输给冷端的热量 q2 的表达式．(3)求电子气体在一个热力学循环过程中提供的功率 P 的表达式，已知塞贝克系数为 α．(4)求连接端的珀耳帖系数 π 的表达式，用该连接端的塞贝克系数 α 和温度 T 表示．(3)C 部分 热电发电机在本题后续部分中，在所有温度下，珀耳帖系数 π=αT，且必须考虑焦耳效应．利用长度都为 L 的两个导体棒组成的热电偶可制成热电发电机，如图T19.3.4所示．T1-|||-A B-|||-A-|||-k-|||-T2-|||-(1) 热端 T1 C-|||-A-|||-A B-|||-(2) 冷端 T2 C-|||-(a)导体A与导体 B直接连接-|||-(b)导体A与导体 B通过中间导体C连接-|||-图T19.3.1 热电偶(塞贝克效应)(T1 为热端,T2为冷端)导体棒 A 和 B 的参数分别为：横截面积 SA，SB；电阻率 ρA，ρB；热导率 kA，kB．导体棒 A 和 B 的下端连接负载电阻 RL．导体棒 A 和 B 组成的热电偶参数为：塞贝克系数 α，内电阻 R=ρA=LSA+ρBLSB，热导 K=kASAL+kBSBL．热电偶的热端保持温度 T1 恒定，冷端保持温度 T2 恒定，且 T1>T2．电子气体从温度为 T1 的热端获取的热功率为 q1，电子气体释放给温度为 T2 的冷端的热功率为 q2．(1)求 q1，q2 的表达式，用热电偶参数 α，R，K，温度 T1，T2 和电流 I 表示．热电发电机的效率为 η=PLq1，其中 PL 是负载的电功率，负载电阻 RL 和热电偶的内电阻之比为 m=RLR．(2)求热电发电机的效率 η 的表达式，用热电偶参数 α，R，K，温度T1，T2 和电阻比 m 表示．为了获得高效率的热电发电机，热电偶需要具有以下特性：低电阻以减小焦耳热，低热导率以保持连接处的热量，并保持大温度梯度，将这三个属性置于物理量 Z=α2KR 中描述，称为热电偶的品质因数．(3)求热电发电机的效率 η 的表达式，用Z，理想卡诺循环效率 ηc=T1−T2T1，T1 和 m表示．当热电发电机输出至负载的电功率最大，即 PL=Pmax 时，热电偶的效率为 ηP．(4)求 ηP 的表达式，用品质因数 Z 和 T1，T2 表示．当电阻比 m=M 时，热电发电机的效率达到最大，即 η=ηmax．(5)求 M 的表达式，用 Z 和 T1，T2 表示．(6)求热电发电机的最大效率 ηmax 的表达式，用 T1，T2，Z 和M 表示．增加热电偶的品质因数可以提高热电发电机的效率．在实际应用中，适当地选择组成热电偶的两导体棒的截面积 SA，SB，可使得热电偶的品质因数达到最大值 Zm．(7)当热电偶的品质因数达到最大时，求两导体棒的截面积比值 SASB 的表达式，用 ρA，ρB，kA，kB 表示．(8)求热电偶的最大品质因数 Zm 的表达式，用 α，ρA，ρB，kA，kB 表示．当负载电阻消耗的电功率与热电偶的品质因数都达到最大时，此时热电发电的效率称为最优效率 ηopt．设热端与冷端的温度分别保持在 T1=423K，T2=303K．(9)由表T19.3.1所列的两种材料制成热电发电机，求 ηopt 的值，并求 ηoptηc 的值．(10)由表T19.3.1所列的两种材料制成热电发电机，求热电发电机的最大效率 ηmax 的数值．(4)D部分 热电冰箱由热电偶制成的热电冰箱如图T19.3.5所示，热电偶的参数 α，K，R 与C 部分相同．T1-|||-A B-|||-A-|||-k-|||-T2-|||-(1) 热端 T1 C-|||-A-|||-A B-|||-(2) 冷端 T2 C-|||-(a)导体A与导体 B直接连接-|||-(b)导体A与导体 B通过中间导体C连接-|||-图T19.3.1 热电偶(塞贝克效应)(T1 为热端,T2为冷端)热电偶顶端为热端，其初始温度为 T1，其与周围环境隔绝，希望其被冷却．热电偶底端为温度维持在 T2 的冷端，导体棒 A，B 与电池相连．电流的方向使得由于珀耳帖效应从顶部热端吸收热量，再释放至底部冷端．(1)求冷却功率 qC(即单位时间内由热端流入热电偶金属棒中的热流)的表达式，用热电偶的参数 α，K，R 和 T1，T2， I 表示．(2)求热端与冷端的最大温差 ΔTmax=T2−T1min 的表达式，用热电偶品质因数Z和孤立热源的最低温度 T1min 表示．热电偶由表T19.3.1中的材料 A，B 制成，当热电偶达到其最大品质因数 Zm 时，可用于制作热电冰箱．(3)当冷端温度 T2=300K 时，求孤立热源所能达到的最低温度 T1min 的值．(4)当孤立热源达到其最低温度 T1min、而冷端温度维持在 T2=300K 时，求热电冰箱的工作电流 IW 的值．为了简化计算，假设两根金属棒的截面积相等，且 SA=SB=10−4m2．当冷热端的温差小于 ΔTmax 时，通常以性能系数 β 表示热电冰箱的性能，β=qcP，P 为电池提供的电功率．(5)求热电冰箱的性能系数 β 的表达式，用热电偶的参数 α，K，R 和 T1，T2，I 表示．当热电冰箱的性能系数达到其最大值 βmax 时，电流强度为 Iβ．(6)求电流强度 Iβ 的表达式，用热电偶参数 α，Z，R 和 T1，T2 表示．(7)求热电冰箱的最大性能系数 βmax 的表达式．
热电效应
导热材料中的热流和电流之间相互作用而产生热电效应．本题希望研究导热材料的三个主要热电效应：焦耳效应、塞贝克效应和珀耳帖效应，忽略其他热电效应．
①焦耳效应．载流子(电子)与晶格相互作用产生焦耳热，称为焦耳效应．载流子定向运动形成电流，载流子的一部分定向运动动能传递给晶格振动，使得晶体被加热．焦耳效应是不可逆的．
②塞贝克效应．由两种不同的导电材料制成的导体 A 和导体 B 组成的热电偶中可观察到塞贝克效应．热电偶可由导体 A 和导体 B 直接连在一起形成环状构成(图T19.3.1(a))，或者导体 A 和导体 B 通过热容和电阻率都非常小的导体材料制成的中间导体 C 连接在一起构成(图T19.3.1(b))．
如图T19.3.1所示，当热电偶的两个连接端与不同温度的大热源 T1 和 T2(T1>T2)接触时，会产生塞贝克电动势：
E=α(T1−T2)．
其中 α 是热电偶的塞贝克系数，其与温度无关．塞贝克效应主要用于热电发电机，将热能转化为电能．
③珀耳帖效应．珀耳帖效应是指：热电偶由两种不同的导电材料制成的导体 A 和导体 B 直接相连构成(图T19.3.2(a))或者导体 A 和导体 B 通过第三种导体材料制成的中间导体 C 相连构成(图T19.3.2(b))．当电流通过热电偶时，两种导体的连接处不是在吸热就是在散热．两种导体的连接处的珀耳帖热功率为 q=πI．
其中 π 称为珀耳帖系数．具有珀耳帖效应的热电偶的闭环电路(如图T19.3.2(b)所示)可用于制作制冷装置，热量从孤立隔离的一个连接端传出，然后在另一个连接端释放．
焦耳效应是不可逆的，但塞贝克效应和珀耳帖效应是可逆的．尽管塞贝克效应和珀耳帖效应需要温差元件间的连接端，但本质上还是整体效应．为简单起见，假定热量只能通过对周围环境的辐射而散失，忽略对流和传导导致的热量散失，且热流仅局限在热电偶内部以及热端和冷端．
本题中热电偶 AB 的长度为 0.02m，塞贝克系数为 α=420μV/K，组成热电偶 AB 的两种材料的热学参数和电学参数如表T19.3.1所示．
表T19.3.1 热电偶所用材料参数(室温)
名称
材料
电阻率 ρ/(Ω⋅m)
热导率 k/(W/m⋅K)
A
Bi2Te2.7Se0.3
1.0×10−5
1.4
B
Bi0.5Sb1.5te3
1.0×10−5
1.4
(1)A 部分 均匀导体棒中的热量传输
如图T19.3.3所示，电流 I 沿长为 L、电阻率为 ρ、热导率为 k 的均匀导体棒流动．导体棒的两端分别位于 Ox 轴的 x=0 和 x=L 处．导体棒在 x=0 处的温度为 T1，在 x=L 处的温度为 T2，导体棒两端的温度 T1，T2 都保持恒定．
根据傅里叶定律，导体棒中的热流 q(x)(单位时间内通过垂直于 x 轴的横截面的总热量)为
q(x)=−kSdT(x)dx．
其中 k 为热导率，S 为导体棒的横截面积．假定没有热量散失到环境中．
(1)当导体棒处于稳态时，求导体棒中的温度分布 T(x) 的表达式．
数学提示：微分方程 d2T(x)dx2=a 的解为 T(x)=12ax2+C1x+C2，其中 C1 和 C2 由边界条件确定．
(2)求导体棒中的热流 q(x) 的表达式，并给出导体棒两端的热流 q(0) 和 q(L) 的表达式．
(2)B 部分 珀耳帖系数与塞贝克系数之间的关系
在所有温度范围内，珀耳帖系数和塞贝克系数之间的关系可用热力学证明．
导体材料 A 和导体材料 B 的电阻率足够小，因此可以忽略焦耳效应．导体材料 A 和导体材料 B 通过电阻率和热容都很小的第三种导体材料 C 制成如图T19.3.1(b)所示的热电偶，该热电偶的塞贝克系数为 α．本部分利用这种特殊情形的热电偶来推导珀耳帖系数和塞贝克系数之间的关系．已知该热电偶在温度为 T1 的热端和温度为 T2 的冷端的珀耳帖系数分别为 π1 和 π2．在电学过程中，热电偶中的电子气体进行理想的热力学卡诺循环．
(1)求电子气体从热端吸收的热量 q1 的表达式．
(2)求电子气体传输给冷端的热量 q2 的表达式．
(3)求电子气体在一个热力学循环过程中提供的功率 P 的表达式，已知塞贝克系数为 α．
(4)求连接端的珀耳帖系数 π 的表达式，用该连接端的塞贝克系数 α 和温度 T 表示．
(3)C 部分 热电发电机
在本题后续部分中，在所有温度下，珀耳帖系数 π=αT，且必须考虑焦耳效应．
利用长度都为 L 的两个导体棒组成的热电偶可制成热电发电机，如图T19.3.4所示．
导体棒 A 和 B 的参数分别为：横截面积 SA，SB；电阻率 ρA，ρB；热导率 kA，kB．导体棒 A 和 B 的下端连接负载电阻 RL．
导体棒 A 和 B 组成的热电偶参数为：塞贝克系数 α，内电阻 R=ρA=LSA+ρBLSB，热导 K=kASAL+kBSBL．热电偶的热端保持温度 T1 恒定，冷端保持温度 T2 恒定，且 T1>T2．电子气体从温度为 T1 的热端获取的热功率为 q1，电子气体释放给温度为 T2 的冷端的热功率为 q2．
(1)求 q1，q2 的表达式，用热电偶参数 α，R，K，温度 T1，T2 和电流 I 表示．
热电发电机的效率为 η=PLq1，其中 PL 是负载的电功率，负载电阻 RL 和热电偶的内电阻之比为 m=RLR．
(2)求热电发电机的效率 η 的表达式，用热电偶参数 α，R，K，温度T1，T2 和电阻比 m 表示．
为了获得高效率的热电发电机，热电偶需要具有以下特性：低电阻以减小焦耳热，低热导率以保持连接处的热量，并保持大温度梯度，将这三个属性置于物理量 Z=α2KR 中描述，称为热电偶的品质因数．
(3)求热电发电机的效率 η 的表达式，用Z，理想卡诺循环效率 ηc=T1−T2T1，T1 和 m表示．
当热电发电机输出至负载的电功率最大，即 PL=Pmax 时，热电偶的效率为 ηP．
(4)求 ηP 的表达式，用品质因数 Z 和 T1，T2 表示．
当电阻比 m=M 时，热电发电机的效率达到最大，即 η=ηmax．
(5)求 M 的表达式，用 Z 和 T1，T2 表示．
(6)求热电发电机的最大效率 ηmax 的表达式，用 T1，T2，Z 和M 表示．
增加热电偶的品质因数可以提高热电发电机的效率．在实际应用中，适当地选择组成热电偶的两导体棒的截面积 SA，SB，可使得热电偶的品质因数达到最大值 Zm．
(7)当热电偶的品质因数达到最大时，求两导体棒的截面积比值 SASB 的表达式，用 ρA，ρB，kA，kB 表示．
(8)求热电偶的最大品质因数 Zm 的表达式，用 α，ρA，ρB，kA，kB 表示．
当负载电阻消耗的电功率与热电偶的品质因数都达到最大时，此时热电发电的效率称为最优效率 ηopt．设热端与冷端的温度分别保持在 T1=423K，T2=303K．
(9)由表T19.3.1所列的两种材料制成热电发电机，求 ηopt 的值，并求 ηoptηc 的值．
(10)由表T19.3.1所列的两种材料制成热电发电机，求热电发电机的最大效率 ηmax 的数值．
(4)D部分 热电冰箱
由热电偶制成的热电冰箱如图T19.3.5所示，热电偶的参数 α，K，R 与C 部分相同．
热电偶顶端为热端，其初始温度为 T1，其与周围环境隔绝，希望其被冷却．热电偶底端为温度维持在 T2 的冷端，导体棒 A，B 与电池相连．电流的方向使得由于珀耳帖效应从顶部热端吸收热量，再释放至底部冷端．
(1)求冷却功率 qC(即单位时间内由热端流入热电偶金属棒中的热流)的表达式，用热电偶的参数 α，K，R 和 T1，T2， I 表示．
(2)求热端与冷端的最大温差 ΔTmax=T2−T1min 的表达式，用热电偶品质因数Z和孤立热源的最低温度 T1min 表示．
热电偶由表T19.3.1中的材料 A，B 制成，当热电偶达到其最大品质因数 Zm 时，可用于制作热电冰箱．
(3)当冷端温度 T2=300K 时，求孤立热源所能达到的最低温度 T1min 的值．
(4)当孤立热源达到其最低温度 T1min、而冷端温度维持在 T2=300K 时，求热电冰箱的工作电流 IW 的值．为了简化计算，假设两根金属棒的截面积相等，且 SA=SB=10−4m2．
当冷热端的温差小于 ΔTmax 时，通常以性能系数 β 表示热电冰箱的性能，β=qcP，P 为电池提供的电功率．
(5)求热电冰箱的性能系数 β 的表达式，用热电偶的参数 α，K，R 和 T1，T2，I 表示．
当热电冰箱的性能系数达到其最大值 βmax 时，电流强度为 Iβ．
(6)求电流强度 Iβ 的表达式，用热电偶参数 α，Z，R 和 T1，T2 表示．
(7)求热电冰箱的最大性能系数 βmax 的表达式．
题目解答
答案
- (1)
- (1)
T1+(ρI2L2kS2−T1−T2L)x−ρI22kS2x2
- (2)
K=kSL，R=ρLS
- (2)
- (1)
π1I
- (2)
π2I
- (3)
α(T1−T2)I
- (4)
αT
- (3)
- (1)
K(T1−T2)+12RI2+αT2I
- (2)
m(T1−T2)KR(1+m)2α2+(1+m)T1−T1−T22
- (3)
见解析
- (4)
T1−T24Z+3T1+T22
- (5)
见解析
- (6)
√1+ZT1+T22
- (7)
见解析
- (8)
α2(√ρAkA+√ρBkB)2
- (9)
0.21
- (10)
6.0%
- (4)
- (1)
ρALSA+ρBLSB
- (2)
见解析
- (3)
222K
- (4)
23.3A
- (5)
−12+α(T2+T1)I−2K(T2−T1)2[α(T2−T1)I+RI2]
- (6)
α(T2−T1)R(√1+ZT2+T12−1)
- (7)
T1√1+ZT2+T12−T2(T2−T1)(√1+ZT2+T12+1)