曲线y=3x，y=4-x^2所围成的平面图形的面积A=A. int_(-4)^1(4-x^2-3x)dxB. int_(-12)^3((y)/(3)-sqrt(4-y))dyC. int_(-1)^4(4-x^2-3x)dxD. int_(-4)^1((y)/(3)-sqrt(4-y))dy

我们来一步步解决这个题目。

题目分析

题目要求的是：由两条曲线

• $ y = 3x $
• $ y = 4 - x^2 $

所围成的平面图形的面积 $ A $。

我们需要找出这两条曲线的交点，然后确定在交点之间哪条曲线在上，哪条在下，从而写出面积的积分表达式。

第一步：求两条曲线的交点

令两条曲线的 $ y $ 值相等：

$3x = 4 - x^2$

移项整理：

$x^2 + 3x - 4 = 0$

解这个一元二次方程：

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$

所以：

• $ x = \frac{-3 + 5}{2} = 1 $
• $ x = \frac{-3 - 5}{2} = -4 $

交点的横坐标是 $ x = -4 $ 和 $ x = 1 $

对应的 $ y $ 值可以用 $ y = 3x $ 计算：

• 当 $ x = -4 $，$ y = 3 \times (-4) = -12 $
• 当 $ x = 1 $，$ y = 3 \times 1 = 3 $

所以交点为 $ (-4, -12) $ 和 $ (1, 3) $

第二步：确定在区间 $[-4, 1]$ 上哪条曲线在上方

我们取一个中间点，比如 $ x = 0 $：

• $ y = 3x = 0 $
• $ y = 4 - x^2 = 4 $

显然 $ 4 > 0 $，所以 $ y = 4 - x^2 $ 在上方，$ y = 3x $ 在下方。

因此，在区间 $ x \in [-4, 1] $ 上，上曲线是 $ y = 4 - x^2 $，下曲线是 $ y = 3x $。

第三步：写出面积的积分表达式（对 $ x $ 积分）

面积公式为：

$A = \int_{x=-4}^{x=1} \left[(上曲线) - (下曲线)\right] dx = \int_{-4}^{1} \left[(4 - x^2) - 3x\right] dx$

即：

$A = \int_{-4}^{1} (4 - x^2 - 3x) \, dx$

第四步：对比选项

我们来看选项：

• A. $ \int_{-4}^{1}(4 - x^2 - 3x)dx $ ✅ 完全匹配我们推导的结果。

• B. $ \int_{-12}^{3} \left( \frac{y}{3} - \sqrt{4 - y} \right) dy $
  这是关于 $ y $ 的积分，但注意：
  $ y = 3x \Rightarrow x = \frac{y}{3} $
  $ y = 4 - x^2 \Rightarrow x^2 = 4 - y \Rightarrow x = \pm \sqrt{4 - y} $
  所以反解时，$ x $ 有两个值。
  但这里只写了 $ \frac{y}{3} - \sqrt{4 - y} $，没有考虑负根，且被减顺序可能有问题。
  而且积分区域是从 $ y = -12 $ 到 $ y = 3 $，但 $ \sqrt{4 - y} $ 要求 $ 4 - y \geq 0 \Rightarrow y \leq 4 $，在 $ y = -12 $ 时没问题，但表达式是否正确？
  更重要的是：面积对 $ y $ 积分应为 $ \int (x_{\text{右}} - x_{\text{左}}) dy $，
  这里 $ x_{\text{右}} $ 应该是较大的 $ x $，但 $ \frac{y}{3} $ 和 $ \pm\sqrt{4 - y} $ 的大小关系随 $ y $ 变化，不能简单表达。
  所以 B 选项表达式不准确。

• C. $ \int_{-1}^{4}(4 - x^2 - 3x)dx $
  积分区间是 $[-1, 4]$，但我们求出的交点是 $ x = -4 $ 和 $ x = 1 $，所以区间错误 ❌

• D. $ \int_{-4}^{1} \left( \frac{y}{3} - \sqrt{4 - y} \right) dy $
  积分变量是 $ y $，但上下限是 $ -4 $ 到 $ 1 $，而 $ y $ 的范围是从 $ -12 $ 到 $ 3 $，所以下限 $ -4 $ 不合理；
  而且被积函数是 $ x $ 的差，但表达式混乱，变量也不匹配（左边是 $ dy $，但 $ y $ 是函数值），写法错误 ❌

结论

正确选项是：

$\boxed{\text{A. } \int_{-4}^{1}(4 - x^{2} - 3x)dx}$

✅ 答案：A