题目
求int ((2x+5))^100dx
求
题目解答
答案
用凑微分法，
解析
步骤 1：确定积分形式
给定的积分是 $\int {(2x+5)}^{100}dx$，这是一个幂函数的积分，其中幂函数的底是线性函数 $2x+5$。
步骤 2：使用换元法
为了简化积分，我们使用换元法。设 $u = 2x + 5$，则 $du = 2dx$，从而 $dx = \frac{1}{2}du$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $u$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分中，得到 $\int {(2x+5)}^{100}dx = \int u^{100} \cdot \frac{1}{2}du$。这可以进一步简化为 $\frac{1}{2} \int u^{100}du$。
步骤 4：计算积分
根据幂函数的积分公式 $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$，我们得到 $\frac{1}{2} \int u^{100}du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{101}}{101} + C$。
步骤 5：回代 $u = 2x + 5$
将 $u = 2x + 5$ 回代到积分结果中，得到 $\frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+5)^{101}}{101} + C$。
给定的积分是 $\int {(2x+5)}^{100}dx$，这是一个幂函数的积分，其中幂函数的底是线性函数 $2x+5$。
步骤 2：使用换元法
为了简化积分，我们使用换元法。设 $u = 2x + 5$，则 $du = 2dx$，从而 $dx = \frac{1}{2}du$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $u$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分中，得到 $\int {(2x+5)}^{100}dx = \int u^{100} \cdot \frac{1}{2}du$。这可以进一步简化为 $\frac{1}{2} \int u^{100}du$。
步骤 4：计算积分
根据幂函数的积分公式 $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$，我们得到 $\frac{1}{2} \int u^{100}du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{101}}{101} + C$。
步骤 5：回代 $u = 2x + 5$
将 $u = 2x + 5$ 回代到积分结果中，得到 $\frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+5)^{101}}{101} + C$。