题目
(3)下列集合能够构成向量空间的是（）。A. V_(1)=(x,0,1)mid xin RB. V_(2)=(x,y,z)mid x-2y+3z=0C. V_(3)=(x_{1),x_(2),x_(3))mid x_(1)+x_(2)+x_(3)=1}D. V_(4)=(x,y,z)mid (x-1)/(2)=(y)/(3)=z
(3)下列集合能够构成向量空间的是（）。
A. $V_{1}=\left\{(x,0,1)\mid x\in R\right\}$
B. $V_{2}=\left\{(x,y,z)\mid x-2y+3z=0\right\}$
C. $V_{3}=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\right\}$
D. $V_{4}=\left\{(x,y,z)\mid \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=z\right\}$
题目解答
答案
B. $V_{2}=\left\{(x,y,z)\mid x-2y+3z=0\right\}$
解析
步骤 1：分析选项A
集合$V_{1}=\left\{(x,0,1)\mid x\in R\right\}$，取两个向量$(x_1,0,1)$和$(x_2,0,1)$，它们的和为$(x_1+x_2,0,2)$，第三个分量为2，不满足集合$V_{1}$的定义，因此不封闭。
步骤 2：分析选项B
集合$V_{2}=\left\{(x,y,z)\mid x-2y+3z=0\right\}$，取两个向量$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，它们的和为$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$，满足$x_1+x_2-2(y_1+y_2)+3(z_1+z_2)=0$，因此封闭。对于任意实数$k$，$k(x,y,z)=(kx,ky,kz)$，满足$kx-2ky+3kz=0$，因此封闭。
步骤 3：分析选项C
集合$V_{3}=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\right\}$，取两个向量$(x_1,x_2,x_3)$和$(y_1,y_2,y_3)$，它们的和为$(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$，满足$x_1+y_1+x_2+y_2+x_3+y_3=2$，不满足集合$V_{3}$的定义，因此不封闭。
步骤 4：分析选项D
集合$V_{4}=\left\{(x,y,z)\mid \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=z\right\}$，取两个向量$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，它们的和为$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$，不满足$\frac{x_1+x_2-1}{2}=\frac{y_1+y_2}{3}=z_1+z_2$，因此不封闭。
集合$V_{1}=\left\{(x,0,1)\mid x\in R\right\}$，取两个向量$(x_1,0,1)$和$(x_2,0,1)$，它们的和为$(x_1+x_2,0,2)$，第三个分量为2，不满足集合$V_{1}$的定义，因此不封闭。
步骤 2：分析选项B
集合$V_{2}=\left\{(x,y,z)\mid x-2y+3z=0\right\}$，取两个向量$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，它们的和为$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$，满足$x_1+x_2-2(y_1+y_2)+3(z_1+z_2)=0$，因此封闭。对于任意实数$k$，$k(x,y,z)=(kx,ky,kz)$，满足$kx-2ky+3kz=0$，因此封闭。
步骤 3：分析选项C
集合$V_{3}=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\right\}$，取两个向量$(x_1,x_2,x_3)$和$(y_1,y_2,y_3)$，它们的和为$(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$，满足$x_1+y_1+x_2+y_2+x_3+y_3=2$，不满足集合$V_{3}$的定义，因此不封闭。
步骤 4：分析选项D
集合$V_{4}=\left\{(x,y,z)\mid \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=z\right\}$，取两个向量$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，它们的和为$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$，不满足$\frac{x_1+x_2-1}{2}=\frac{y_1+y_2}{3}=z_1+z_2$，因此不封闭。