题目

6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E (X) =5，E (Y) =11，E (Z) =8，求下列随机变量 的数学期望.(1) U=2X+3Y+1；(2) V=YZ- 4X.

6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E (X) =5，E (Y) =11，E (Z) =8，求下列随机变量 的数学期望.(1) U=2X+3Y+1；(2) V=YZ- 4X.

题目解答

答案

【解】 (1) E[U ] = E(2X + 3Y +1) = 2E(X ) + 3E(Y) +1= 2根 5 + 3根11+1 = 44.(2) E[V ] = E[YZ - 4X] = E[YZ] - 4E(X )因Y, Z独立E(Y)UE(Z) - 4E(X )= 11根8 - 4根5 = 68.

解析

考查要点：本题主要考查数学期望的线性性质以及独立随机变量乘积的期望计算。

解题核心思路：

  1. 线性性质：对于任意随机变量的线性组合，数学期望可分解为各部分期望的线性组合。
  2. 独立变量乘积：若两个随机变量独立，则它们乘积的期望等于各自期望的乘积。

破题关键点：

  • 第（1）题：直接应用线性性质，将系数和常数项分别代入计算。
  • 第（2）题：先利用独立性计算$YZ$的期望，再结合线性性质处理$-4X$部分。

第（1）题

应用线性性质

根据数学期望的线性性质：
$E[U] = E(2X + 3Y + 1) = 2E(X) + 3E(Y) + E(1)$

代入已知值

已知$E(X) = 5$，$E(Y) = 11$，且常数项期望为自身：
$E[U] = 2 \times 5 + 3 \times 11 + 1 = 10 + 33 + 1 = 44$

第（2）题

分解表达式

根据线性性质：
$E[V] = E(YZ - 4X) = E(YZ) - 4E(X)$

利用独立性计算$E(YZ)$

因$Y$与$Z$独立，故：
$E(YZ) = E(Y) \cdot E(Z) = 11 \times 8 = 88$

代入计算

$E[V] = 88 - 4 \times 5 = 88 - 20 = 68$