函数 y=ln(x+sqrt(1+x^2)) 的二阶导数 (d^2y)/(dx^2) 是A. (x)/((1+x^2)^3/2)B. (1)/((1+x^2)^3/2)C. -(x)/((1+x^2)^3/2)D. -(1)/((1+x^2)^3/2)

本题考查复合函数求导法则以及二阶导数的计算。解题思路是先对原函数求一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数。

步骤一：求一阶导数$\frac{dy}{dx}$

设$u = x + \sqrt{1 + x^2}$，则原函数$y = \ln u$。
根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。

• 先对$y = \ln u$关于$u$求导，根据对数函数求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$。
• 再对$u = x + \sqrt{1 + x^2}$关于$x$求导，$u^\prime=(x + \sqrt{1 + x^2})^\prime$。
  根据加法求导法则$(f(x)+g(x))^\prime=f^\prime(x)+g^\prime(x)$，可得$u^\prime=(x)^\prime+(\sqrt{1 + x^2})^\prime$。
  • 因为$(x)^\prime = 1$。
  • 对于$(\sqrt{1 + x^2})^\prime$，设$v = 1 + x^2$，则$\sqrt{1 + x^2}=v^{\frac{1}{2}}$。
    根据复合函数求导法则$(v^{\frac{1}{2}})^\prime=\frac{1}{2}v^{-\frac{1}{2}}\cdot v^\prime$，$v^\prime=(1 + x^2)^\prime = 2x$，所以$(\sqrt{1 + x^2})^\prime=\frac{1}{2}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$。
    则$u^\prime = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}=\frac{\sqrt{1 + x^2}+x}{\sqrt{1 + x^2}}$。
    所以$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot u^\prime=\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1 + x^2}+x}{\sqrt{1 + x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}=(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}}$。

步骤二：求二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$

对$\frac{dy}{dx}=(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}}$关于$x$求导，设$w = 1 + x^2$，则$(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}}=w^{-\frac{1}{2}}$。
根据复合函数求导法则$(w^{-\frac{1}{2}})^\prime=-\frac{1}{2}w^{-\frac{3}{2}}\cdot w^\prime$，$w^\prime=(1 + x^2)^\prime = 2x$。
所以$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{2}(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x=-\frac{x}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}}$。