121 (1997,六题,8分)设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足 xf'(x)=f(x)+(3a)/(2)x^2(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

考查要点：本题综合考查微分方程求解、定积分应用（面积与旋转体体积）以及利用导数求极值的能力。

解题思路：

1. 微分方程求解：将给定方程整理为一阶线性微分方程形式，利用积分因子法求通解。
2. 面积条件确定参数：通过积分表达式建立方程，求出通解中的常数。
3. 体积表达式与极值：将函数代入旋转体体积公式，展开积分后对参数求导，通过极值条件确定最小值。

关键点：

• 变量分离或积分因子法是解微分方程的核心。
• 面积积分需正确代入通解并化简。
• 体积积分展开需注意代数运算的准确性，导数求极值时注意二阶导数验证最小值。

第（1）题：求函数$f(x)$

解微分方程

原方程 $xf'(x) = f(x) + \frac{3a}{2}x^2$ 可整理为：
$f'(x) - \frac{1}{x}f(x) = \frac{3a}{2}x$
积分因子为 $\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{x}$。方程两边乘以积分因子：
$\frac{1}{x}f'(x) - \frac{1}{x^2}f(x) = \frac{3a}{2}$
左边为 $\left(\frac{f(x)}{x}\right)'$，积分得：
$\frac{f(x)}{x} = \frac{3a}{2}x + C \implies f(x) = \frac{3a}{2}x^2 + Cx$

利用面积条件确定$C$

由 $\int_0^1 f(x)dx = 2$，代入通解：
$\int_0^1 \left(\frac{3a}{2}x^2 + Cx\right)dx = \frac{a}{2} + \frac{C}{2} = 2 \implies a + C = 4 \implies C = 4 - a$
故 $f(x) = \frac{3a}{2}x^2 + (4 - a)x$。

第（2）题：求$a$使体积最小

体积表达式

旋转体体积公式：
$V = \pi \int_0^1 [f(x)]^2 dx$
展开 $[f(x)]^2$ 并积分：
$\begin{aligned}V &= \pi \int_0^1 \left(\frac{3a}{2}x^2 + (4 - a)x\right)^2 dx \\&= \pi \left[\frac{9a^2}{20}x^5 + \frac{3a(4 - a)}{4}x^4 + \frac{(4 - a)^2}{3}x^3\right]_0^1 \\&= \frac{\pi}{30}(a^2 + 10a + 160)\end{aligned}$

求导找极值

对$V$关于$a$求导并令导数为零：
$\frac{dV}{da} = \frac{\pi}{15}(a + 5) = 0 \implies a = -5$
二阶导数 $\frac{d^2V}{da^2} = \frac{\pi}{15} > 0$，故$a = -5$时体积最小。