一、多元函数微分学(100分)10.判断题(4分)函数f(x,y)=x^2(2+y^2)+ylny的极大值是-(1)/(e).A.对B.错

本题考查多元函数极值的求解，解题思路是先求出函数的一阶偏导数，通过令一阶偏导数为零来确定函数的临界点，再求出二阶偏导数，利用二阶偏导数在临界点的值进行判别式计算，根据判别式和二阶偏导数的正负来判断该临界点是极大值点、极小值点还是鞍点，最后计算出极值。

1. 求一阶偏导数：
   • 对函数$f(x,y)=x^{2}(2+y^{2})+y\ln y$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
     $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x(2 + y^2)$
   • 对函数$f(x,y)=x^{2}(2+y^{2})+y\ln y$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，根据求导公式$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$以及$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$可得：
     $f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=2x^2y + \ln y + 1$
2. 求临界点：
   令$\begin{cases}f_x = 0\\f_y = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}2x(2 + y^2)=0\\2x^2y + \ln y + 1 = 0\end{cases}$。
   • 由$2x(2 + y^2)=0$，因为$2 + y^2\gt0$恒成立，所以$x = 0$。
   • 将$x = 0$代入$2x^2y + \ln y + 1 = 0$，得到$\ln y + 1 = 0$，移项可得$\ln y=-1$，根据对数的性质解得$y = \frac{1}{e}$。
   • 所以，函数的临界点为$(0, \frac{1}{e})$。
3. 求二阶偏导数：
   • 对$f_x = 2x(2 + y^2)$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，可得：
     $f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2(2 + y^2)$
   • 对$f_x = 2x(2 + y^2)$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，可得：
     $f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=4xy$
   • 对$f_y = 2x^2y + \ln y + 1$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，可得：
     $f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2x^2 + \frac{1}{y}$
4. 进行二阶导数测试：
   将临界点$(0, \frac{1}{e})$代入二阶偏导数中：
   • $f_{xx}(0, \frac{1}{e}) = 2(2 + (\frac{1}{e})^2)=4 + \frac{2}{e^2} \gt 0$
   • $f_{xy}(0, \frac{1}{e}) = 4\times0\times\frac{1}{e}=0$
   • $f_{yy}(0, \frac{1}{e}) = 2\times0^2 + \frac{1}{\frac{1}{e}}=e$
   • 计算判别式$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$，将上述值代入可得：
     $D=(4 + \frac{2}{e^2})\times e - 0^2 = e(4 + \frac{2}{e^2}) \gt 0$
   • 因为$D\gt0$且$f_{xx}\gt0$，所以函数在点$(0, \frac{1}{e})$处取得极小值。
5. 计算极小值：
   将临界点$(0, \frac{1}{e})$代入原函数$f(x,y)$可得：
   $f(0, \frac{1}{e})=0^2\times(2 + (\frac{1}{e})^2) + \frac{1}{e}\ln\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$
   由于函数只有一个极值点且为极小值点，所以函数无极大值。