例2.5.5 铜的电导率 sigma =5.8times (10)^7S/m ,相对介电常数 (varepsilon )_(1)=1 。设铜中的-|||-传导电流密度为 =(e)_(x)(int )_(m)cos omega tA/(m)^2 。试证明在无线电频率范围内铜中的位-|||-移电流与传导电流相比是可以忽略的。
题目解答
答案
解析
本题考查传导电流密度、位移电流密度的概念以及它们之间的比较，解题思路是先根据传导电流密度与电场强度的关系求出电场强度，再根据位移电流密度的公式求出位移电流密度，最后计算位移电流密度与传导电流密度的比值，通过分析该比值在无线电频率范围内的大小来判断位移电流是否可忽略。
步骤一：根据传导电流密度公式求出电场强度
已知传导电流密度公式为$\vec{J}=\sigma\vec{E}$，其中$\vec{J} = \vec{e}_{x}J_{m}\cos\omega t$，$\sigma = 5.8\times 10^{7}S/m$。
则电场强度$\vec{E}=\frac{\vec{J}}{\sigma}=\vec{e}_{x}\frac{J_{m}\cos\omega t}{\sigma}$，其振幅值$E_{m}=\frac{J_{m}}{\sigma}$。
步骤二：根据位移电流密度公式求出位移电流密度
位移电流密度公式为$\vec{J}_{d}=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}$，又因为$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\vec{E}$，所以$\vec{J}_{d}=\frac{\partial(\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\vec{E})}{\partial t}$。
将$\vec{E}=\vec{e}_{x}\frac{J_{m}\cos\omega t}{\sigma}$代入上式可得：
$\vec{J}_{d}=\vec{e}_{x}\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\frac{\partial(\frac{J_{m}\cos\omega t}{\sigma})}{\partial t}=\vec{e}_{x}\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\frac{J_{m}}{\sigma}(-\omega\sin\omega t)$
其振幅值$J_{dm}=\omega\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}E_{m}$，把$E_{m}=\frac{J_{m}}{\sigma}$代入可得$J_{dm}=\frac{\omega\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}}{\sigma}J_{m}$。
步骤三：计算位移电流密度与传导电流密度的比值
$\frac{J_{dm}}{J_{m}}=\frac{\omega\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}}{\sigma}$
已知$\varepsilon_{r} = 1$，$\varepsilon_{0}=\frac{1}{36\pi}\times\times 10^{-9}F/m$，$\sigma = 5.8\times 10^{7}S/m$，$\omega = 2\pi f$。
当$f = 300MHz = 3\times 10^{8}Hz$时，$\omega = 2\pi\times 3\times 10^{8}rad/s$，则：
$\begin{align*}\frac{J_{dm}}{J_{m}}&=\frac{2\pi\times 3\times 10^{8}\times 1\times\frac{1}{36\pi}\times 10^{-9}}{5.8\times 10^{7}}\\&=\frac{3\times 10^{-1}}{5.8\times 10^{7}}\\&\approx 5.17\times 10^{-9}\end{align*}$
当$f = 300GHz = 3\times 10^{11}Hz$时，$\omega = 2\pi\times 3\times 10^{11}rad/s$，则：
$\begin{align*}\frac{J_{dm}}{J_{m}}&=\frac{2\pi\times 3\times 10^{11}\times 1\times\frac{1}{36\pi}\times 10^{-9}}{5.8\times 10^{7}}\\&=\frac{3\times 10^{2}}{5.8\times 10^{7}}\\&\approx 5.17\times 10^{-6}\end{align*}$
从上面的计算可以看出，在无线电频率范围内，$\frac{J_{dm}}{J_{m}}$的值非常小，所以可以忽略铜中的位移电流。