二次型((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=(({x)_(1)+(x)_(2))}^2+(({x)_(2)+(x)_(3))}^2-(({x)_(3)-(x)_(1))}^2的正惯性指数与负惯性指数依次为 ( A ) 2 , 0 . ( B ) 1 , 1 . ( C ) 2 , 1 . ( D ) 1 , 2

步骤 1：展开二次型
首先，我们展开给定的二次型$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})={({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}+{({x}_{2}+{x}_{3})}^{2}-{({x}_{3}-{x}_{1})}^{2}$。
$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=({x}_{1}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}^{2})+({x}_{2}^{2}+2{x}_{2}{x}_{3}+{x}_{3}^{2})-({x}_{3}^{2}-2{x}_{1}{x}_{3}+{x}_{1}^{2})$
步骤 2：简化二次型
简化上述表达式，得到
$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{x}_{1}{x}_{2}+2{x}_{2}{x}_{3}+2{x}_{1}{x}_{3}$
步骤 3：构造二次型矩阵
根据二次型$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{x}_{1}{x}_{2}+2{x}_{2}{x}_{3}+2{x}_{1}{x}_{3}$，构造对应的二次型矩阵$A$。
$A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$
步骤 4：求矩阵$A$的特征值
计算矩阵$A$的特征值，即求解$|A-\lambda I|=0$。
$|\begin{pmatrix}-\lambda&1&1\\1&-\lambda&1\\1&1&-\lambda\end{pmatrix}|=0$
$-\lambda(-\lambda^2-1)-1(-\lambda-1)+1(1+\lambda)=0$
$\lambda^3-3\lambda=0$
$\lambda(\lambda^2-3)=0$
$\lambda=0,\pm\sqrt{3}$
步骤 5：确定正惯性指数与负惯性指数
根据特征值，正惯性指数为正特征值的个数，负惯性指数为负特征值的个数。
正特征值为$\sqrt{3}$，负特征值为$-\sqrt{3}$，零特征值为$0$。
因此，正惯性指数为1，负惯性指数为1。