题目

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为(1)/(2)．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为$\frac{1}{2}$．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．

题目解答

答案

（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
甲连胜四场的概率为$\frac{1}{16}$，乙连胜四场比赛的概率为$\frac{1}{16}$，
丙上场后连胜三场的概率为$\frac{1}{8}$，
∴需要进行五场比赛的概率为：
P=1-$\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{8}$=$\frac{3}{4}$．
（3）设A为甲输，B为乙输，C为丙输，则丙最终获胜的概率为：
P=P（ABAB）+P（BABA）+P（ABACB）+P（BABCA）+P（ABCAB）+P（ABCBA）+P（BACAB）+P（BACBA）+P（ACABB）+P（ACBAB）+P（BCABA）+P（BCBAA）
=（$\frac{1}{2}$）⁴×2+（$\frac{1}{2}$）⁵×10
=$\frac{7}{16}$．

解析

赛制核心：累计两负淘汰，比赛顺序由胜负决定轮空者。

（1）甲连胜四场：需甲连续四场获胜，且每场对手可能变化，但路径唯一。
（2）第五场必要性：四场结束需某人连赢四场或丙连赢三场，其余情况必到第五场。
（3）丙最终胜：需丙在淘汰甲、乙的过程中获胜，路径复杂需枚举关键淘汰顺序。

第（1）题

关键路径：甲需连续赢四场，对手依次为乙、丙、乙、丙。
概率计算：每场独立，概率为 $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$。

第（2）题

四场结束条件：

甲连胜四场：概率 $\frac{1}{16}$。
乙连胜四场：概率 $\frac{1}{16}$。
丙连赢三场：丙需从第二场开始连赢三场，概率 $\frac{1}{8}$。
总四场结束概率：$\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$。
五场概率：$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。

第（3）题

丙获胜路径：

四场结束：甲、乙各淘汰一次（如路径 ABAB, BABA），概率 $2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{2}{16}$。
五场结束：需丙在淘汰过程中补足淘汰条件（如路径 ABACB 等），共10种路径，概率 $10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{10}{32}$。
总概率：$\frac{2}{16} + \frac{10}{32} = \frac{7}{16}$。