计算积分 int_(C) (x-y+ix^2) , dz，积分路径 C 是连接由 0 到 1+i 的直线段。

本题考查复变函数沿曲线的积分计算。解题思路是先将积分路径进行参数化，然后将参数方程代入被积函数和$dz$的表达式，最后将复变函数的积分转化为实变量的定积分进行计算。

1. 参数化积分路径：
   已知积分路径$C$是连接$0$到$1 + i$的直线段，设其参数方程为$z(t)=x(t)+iy(t)$，$t\in[0,1]$。
   对于连接两点$z_1$和$z_2$的直线段，其参数方程为$z(t)=(1 - t)z_1+tz_2$，这里$z_1 = 0$，$z_2 = 1 + i$，则$z(t)=(1 - t)\times0+t\timestimes(1 + i)=t+it$，$t\in[0,1]$。
   由此可得$x = t$，$y = t$。
   对$z(t)$求导，根据求导公式$(u+iv)^\prime=u^\prime+iv^\prime$，$z^\prime(t)=(t+it)^\prime=(1 + i)$，所以$dz=z^\prime(t)dt=(1 + i)dt$。
2. 代入被积函数：
   已知被积函数$f(z)=x - y+ix^2$，将$x = t$，$y = t$代入可得：
   $f(z(t))=t - t+it^2=it^2$。
3. 计算定积分：
   原积分$\int_{C}(x - y+ix^2)dz$转化为关于$t$的定积分$\int_{0}^{1}f(z(t))z^\prime(t)dt$，即$\int_{0}^{1}it^2(1 + i)dt$。
   根据定积分的性质$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数），可得：
   $\int_{0}^{1}it^2(1 + i)dt=(1 + i)\int_{0}^{1}it^2dt$。
   先计算$\int_{0}^{1}it^2dt$，根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^n dx=\left[\frac{x^{n + 1}}{n+1}\right]_{a}^{b}$（$n\neq - 1$），可得：
   $\int_{0}^{1}it^2dt=i\left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1}=i\times(\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3})=\frac{i}{3}$。
   再将其代入上式可得：
   $(1 + i)\int_{0}^{1}it^2dt=(1 + i)\times\frac{i}{3}$。
   根据乘法分配律$(a + b)c=ac+bc$，展开得：
   $(1 + i)\times\frac{i}{3}=\frac{i}{3}+\frac{i^2}{3}$。
   因为$i^2=-1$，所以$\frac{i}{3}+\frac{i^2}{3}=\frac{i-1}{3}=-\frac{1}{3}+\frac{i}{3}$。