题目
1.判断题复变函数w=(z-2)/(z+1)的实部u(x,y)=(x^2-x+y^2-2)/((x+1)^2)+y^(2).（）A 对B 错
1.判断题
复变函数$w=\frac{z-2}{z+1}$的实部u(x,y)=\frac{x^{2}-x+y^{2}-2}{(x+1)^{2}+y^{2}}.（）
A 对
B 错
题目解答
答案
将 $ z = x + yi $ 代入 $ w = \frac{z-2}{z+1} $，得
$w = \frac{(x-2) + yi}{(x+1) + yi}.$
分子分母同乘共轭分母，化简为
$w = \frac{[(x-2) + yi][(x+1) - yi]}{(x+1)^2 + y^2} = \frac{(x-2)(x+1) + y^2 + [y(x+1) - y(x-2)]i}{(x+1)^2 + y^2}.$
进一步化简实部和虚部分别为
$\text{实部} = \frac{x^2 - x - 2 + y^2}{(x+1)^2 + y^2}, \quad \text{虚部} = \frac{3y}{(x+1)^2 + y^2}.$
题目中给出的实部为 $ \frac{x^2 - x + y^2 - 2}{(x+1)^2 + y^2} $，与计算结果一致。
答案：A 对
解析
本题考查复变变函数实部的计算。解题思路是将复变函数中的$z$用$x + yi$表示，然后通过分子分母同乘共轭分母进行化简，最后得到实部的表达式并与题目所给实部进行对比。
- 将$z = x + yi$代入$w = \frac{z - 2}{z + 1}$，可得：
$w = \frac{(x - 2) + yi}{(x + 1) + yi}$ - 分子分母同乘共轭分母$(x + 1) - yi$进行化简：
$\begin{align*}&=\frac{[(x - 2) + yi)][(x + 1) - yi]]}{(x + 1)^2 + y^2}\\&=\frac{(x - 2)(x + 1) + y^2 + [y(x + 1) - y(x - 2)]i}{(x + 1)^2 + y^2}\\&=\frac{x^2 - x - 2 + y^2 + 3yi}{(x^2 + 2x + 1 + y^2}\end{align*}$ - 进一步化简实部和虚部分别为：
实部$=\frac{x^2 - x - 2 + y^2}{(x + 1)^2 + y^2}$，虚部$=\frac{3y}{(x + 1)^2 + y^2}$ - 题目中实部为$\frac{x^2 - x + y^2 - 2}{(x + 1)^2 + y^2}$，与计算结果一致。