24. (1.6分) 由曲线y=f(x)、y=g(x)、x=a、x=b所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V=() (用定积分表示)。A. piint_(a)^b|[f(x)]^2-[g(x)]^2|dxB. 不确定C. piint_(a)^b[[g(x)]^2-[f(x)]^2]dxD. piint_(a)^b[[f(x)]^2-[g(x)]^2]dx

本题考查利用定积分求旋转体的体积，解题思路是通过微元法来推导由曲线$y = f(x)$、$y = g(x)$、$x = a$、$x = b$所围成的平面图形绕$x$轴旋转所得旋转体的体积公式。

1. 确定体积微元：
   • 在区间$[a,b]$上任取一个小区间$[x,x + dx]$，对应的小曲边梯形绕$x$轴旋转所形成的薄片近似于一个圆环柱体。
   • 设$R(x)=\max\{|f(x)|,|g(x)|\}$，$r(x)=\min\{|f(x)|,|g(x)|\}$，则该圆环柱体的体积微元$dV$为：
     • 圆环柱体的体积公式为$V=\pi h(R^{2}-r^{2})$（$h$为高，$R$为外半径，$r$为内半径），在这里$h = dx$，$R = R(x)$，$r = r(x)$，所以$dV=\pi\left([R(x)]^{2}-[r(x)]^{2}\right)dx$。
     • 又因为$[R(x)]^{2}-[r(x)]^{2}=\vert[f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\vert$，所以$dV=\pi\vert[f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\vert dx$。
2. 计算旋转体体积：
   • 根据定积分的定义，将区间$[a,b]$上所有这样的体积微元累加起来，就得到旋转体的体积$V$，即$V=\int_{a}^{b}dV$。
   • 把$dV=\pi\vert[f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\vert dx$代入上式，可得$V = \pi\int_{a}^{b}\vert[f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\vert dx$。