题目

设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为-|||-XY 1 2 3-|||-1 1/4 dfrac (1)(4) 1/8-|||-2 dfrac (1)(8) 0 0-|||-3 dfrac (1)(8) 0-|||-若_(1)=X+Y 和 _(2)=XY ,则-|||- {Z)_(1)=3} {Z)_(2)=6} 分别为 () .-|||-A dfrac (5)(8);dfrac (1)(8)-|||-B. dfrac (3)(8) ;dfrac (1)(8)

$\begin{aligned} &设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X\backslash Y &1&2&3\\\hline 1&\frac14&\frac14&\frac18 \\\hline 2&\frac18&0&0\\\hline3&\frac18&\frac18&0\\\hline\end{array}\\ &\text{若}{Z_1} =X+Y{\text{和}}Z_{2}=XY{\text{,则}} \\ &P\{Z_{1} =3\}, P\{Z_{2}=6\}{\text{分别为(}\quad).} \\ &\text{} \text{A}\quad\frac{5}{8} ;\frac{1}{8} \\ &B.\frac{3}{8};\frac{1}{8} \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &\text{计算 }P\{Z_{1}=3\} \\ &Z_1=X+Y=3\text{。我们需要找到所有满足 }X+ \\ &Y=3 \text{的}\left(X,Y\right) \text{对。} \\ &\bullet\text{ 对于 }X=1, Y=2\colon P(X=1,Y= \\ &2)=\frac{1}{4} \\ &\bullet\text{ 对于 }X=2, Y=1\colon P(X=2,Y= \\ &1)=\frac{1}{8} \\ &\bullet \text{对于} X=3 , Y=0: \text{不可能,因为} Y \text{必须} \\ &\text{为1、2或3。} \\ &因此: \\ &P\{Z_{1}=3\}=P(X=1,Y=2)+P(X= \\ &2,Y=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\text{计算 }P\{Z_{2}=6\} \\ &Z_2=XY=6\text{。我们需要找到所有满足 }XY=6 \\ &\text{的}\left(X,Y\right)\text{对。} \\ &\bullet\text{ 对于 }X=1\text{,}Y=6\text{:不可能,因为}Y\text{ 必须} \\ &\text{为1、2或3。} \\ &\bullet\text{ 对于 }X=2,Y=3\colon P(X=2,Y= \\ &3)=0 \\ &\bullet\text{ 对于 }X=3, Y=2\colon P(X=3,Y= \\ &2)=\frac{1}{8} \\ &因此: \\ &P\{Z_{2}=6\}=P(X=3,Y=2)=\frac{1}{8}\\&所以答案为:B \end{aligned}$