2.5 已知离散型随机变量X的分布律为 X=k =(p)^k+1(k=0,1), 则 p= ()-|||-(A) dfrac (sqrt {5)-1}(2) (B) dfrac (sqrt {5)+1}(4) (C) dfrac (1-sqrt {5)}(2) (D) dfrac (-1-sqrt {5)}(2)

本题考查离散型随机变量分布律的性质。离散型随机变量的分布律需满足两个条件：一是每个概率$p_i>0$，二是所有概率之和为$1$。

步骤1：利用概率和为1列方程

已知随机变量$X$的分布律为$P\{X=k\}=p^{k+1}$（$k=0,1$），根据概率和为1的性质：
$\sum_{k=0}^{1} P\{X=k\} = 1$
代入分布律得：
$P\{X=0\} + P\{X=1\} = p^{0+1} + p^{1+1} = p + p^2 = 1$

步骤2：解方程并筛选合理根

整理方程得一元二次方程：
$p^2 + p - 1 = 0$
用求根公式$p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$）：
$p = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

步骤3：根据概率非负筛选

由于概率$p>0$，舍去负根：

• $p = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$（负数，舍去）
• $p = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$（正数，符合题意）