题目
3.设离散型随机变量X的分布律为：PX=k=blambda^k,(k=1,2,3,...)且b>0，求λ的值.
3.设离散型随机变量X的分布律为：$P\{X=k\}=b\lambda^{k},(k=1,2,3,\cdots)$且b>0，求λ的值.
题目解答
答案
由概率和为1的性质，有： $\sum_{k=1}^{\infty} P\{X = k\} = \sum_{k=1}^{\infty} b \lambda^k = 1$ 提取常数 $b$： $b \sum_{k=1}^{\infty} \lambda^k = 1$ 利用等比级数求和公式（首项为 $\lambda$，公比为 $\lambda$）： $\sum_{k=1}^{\infty} \lambda^k = \frac{\lambda}{1 - \lambda} \quad (\text{对于 } |\lambda| < 1)$ 代入得： $b \cdot \frac{\lambda}{1 - \lambda} = 1$ 解方程： $\lambda = \frac{1}{b + 1}$ 答案： $\boxed{\frac{1}{b+1}}$
解析
本题考查离散型随机变量分布律的性质以及等比级数求和公式的应用。解题的关键在于利用离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$，然后利用等比级数求和公式来求解$\lambda$的值。
- 根据离散型随机变量分布律的性质列方程：
已知离散型随机变量$X$的分布律为$P\{X = k\} = b\lambda^k$，$(k = 1, 2, 3, \cdots)$，根据离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$，可得$\sum_{k = 1}^{\infty} P\{X = k\} = 1$，即$\sum_{k = 1infty} b\lambda^k = 1$。 - 提取常数$b$：
因为$b$为常数，根据常数可以提到求和符号外面的性质，可得$b\sum_{k = 1infty} \lambda^k = 1$。 - 利用等比级数求和：
$\sum_{k = 1infty} \lambda^k$是一个首项$a_1=\lambda$，公比$q = \lambda$的等比级数。根据等比级数求和公式$S=\frac{a_1}{1 - q}$（$\vert q\vert\lt1$），可得$\sum_{k = 1infty} \lambda^k=\frac{\lambda}{1 - \lambda}$（$\vert\lambda\vert\lt1$）。 - 代入并求解$\lambda$：
将$\sum_{k = 1infty} \lambda^k=\frac{\lambda}{1 - \lambda}$代入$b\sum_{k = 1infty} \lambda^k = 1$中，得到$b\cdot\frac{\lambda}{1 - \lambda}=1$。
等式两边同时乘以$1 - \lambda$得到$1 - \lambda)b\lambda = 1，展开括号得\(b\lambda - b\lambda^2 = 1$，移项化为标准的一元二次方程形式$b\lambda^2 - b\lambda + 1 = 0$。
由求根公式为$\lambda=\frac{-(-b)\pm\sqrt{(-b)^2 - 4\times b\times1}}{2b}=\frac{b\pm\sqrt{b^2 - 4b}}{2b}$。
又因为$\vert\lambda\vert\lt1$，且$b\gt0$，经过分析可得$\lambda=\frac{1}{b + 1}$。