题目
1 ． 一批产品中有 10%的不合格品，现从中任取 3 件，求其中至多有一件不合格品的概率．
1 ． 一批产品中有 10%的不合格品，现从中任取 3 件，求其中至多有一件不合格品的概率．
题目解答
答案
解：设X 表示取到的不合格品个数，有X 服从二项分布 b (3, 0. 1)，⎛3⎞故所求概率为P{X ≤1} = P{X = 0} + P{X = 1} = 0.93 + ⎜⎝1⎠⎟⎟ × 0. 1× 0.92 = 0.972 ．
解析
步骤 1：定义随机变量
设X表示从这批产品中随机抽取3件时，不合格品的个数。由于每次抽取是独立的，且每次抽取时不合格品的概率为0.1，因此X服从二项分布，记为X ~ b(3, 0.1)。
步骤 2：计算至多有一件不合格品的概率
至多有一件不合格品的概率即为P(X ≤ 1)，这可以分解为P(X = 0) + P(X = 1)。
- P(X = 0)表示3件产品中没有不合格品的概率，即所有产品都是合格品的概率，计算公式为C(3,0) * (0.1)^0 * (0.9)^3。
- P(X = 1)表示3件产品中有1件不合格品的概率，计算公式为C(3,1) * (0.1)^1 * (0.9)^2。
步骤 3：计算概率值
- P(X = 0) = C(3,0) * (0.1)^0 * (0.9)^3 = 1 * 1 * 0.729 = 0.729。
- P(X = 1) = C(3,1) * (0.1)^1 * (0.9)^2 = 3 * 0.1 * 0.81 = 0.243。
- 因此，P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.729 + 0.243 = 0.972。
设X表示从这批产品中随机抽取3件时，不合格品的个数。由于每次抽取是独立的，且每次抽取时不合格品的概率为0.1，因此X服从二项分布，记为X ~ b(3, 0.1)。
步骤 2：计算至多有一件不合格品的概率
至多有一件不合格品的概率即为P(X ≤ 1)，这可以分解为P(X = 0) + P(X = 1)。
- P(X = 0)表示3件产品中没有不合格品的概率，即所有产品都是合格品的概率，计算公式为C(3,0) * (0.1)^0 * (0.9)^3。
- P(X = 1)表示3件产品中有1件不合格品的概率，计算公式为C(3,1) * (0.1)^1 * (0.9)^2。
步骤 3：计算概率值
- P(X = 0) = C(3,0) * (0.1)^0 * (0.9)^3 = 1 * 1 * 0.729 = 0.729。
- P(X = 1) = C(3,1) * (0.1)^1 * (0.9)^2 = 3 * 0.1 * 0.81 = 0.243。
- 因此，P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.729 + 0.243 = 0.972。